Définition des espaces de Hilbert

Question posée sur Quora

Vous trouverez facilement sur Internet en général, et sur Wikipédia et Quora en particulier, des tas d’excellentes définitions des espaces de Hilbert.

Le seul problème, c’est qu’elles sont absolument incompréhensibles par le commun des mortels.

Le problème n’est pas spécifique à l’espace de Hilbert, c’est quelque chose de très général en mathématiques, surtout depuis qu’à la fin du 19ème siècle, les mathématiciens se sont retrouvés confrontés à la nécessité de définir les trucs qu’ils étudient de manière super-hyper rigoureuse. Ça s’est appelé la crise des fondements.

  • L’avantage, c’est que depuis, ils ont des définitions super-hyper rigoureuses d’à peu près tout. Y compris des choses que nous pensions les plus simples et intuitives, comme les distances et les droites, par exemple. (Et Hilbert a joué un rôle très important dans tout ça)
  • L’inconvénient, c’est que maintenant, si vous voulez comprendre la définition mathématique de ce qu’est une distance ou une droite, ça va vous prendre plusieurs années d’études à plein temps.

Venons-en à votre question de la définition d’un espace de Hilbert. Comme vous vous en doutez, la vraie définition, bien rigoureuse, n’est réellement compréhensible que pour ceux qui comprennent déjà très bien tous ces trucs hyper compliqués. Du coup, ceux qui sont capables de la comprendre la comprennent du premier coup et ils ne posent pas la question sur Quora. 😉

Pour les autres, les gens comme vous et moi, je propose de partir dans l’autre sens. Dans le sens pas du tout rigoureux que détestent les mathématiciens.

  1. Vous prenez notre espace ordinaire, en 3 dimensions. C’est un espace vectoriel. Ce qui signifie principalement que si on trace des flèches dedans, on peut additionner les flèches (en les mettant bout à bout) et on peut aussi multiplier les flèches par un nombre pour les allonger. Pour que ça marche bien, il faut aussi que plein d’autres conditions soient respectées, par exemple que si on met la flèche B au bout de la flèche A on arrive au même endroit que si on fait le contraire. Appelons ces flèches des vecteurs et l’espace dans lequel on trace ces flèches un espace vectoriel.
  2. Si je rajoute des dimensions à mon espace vectoriel ordinaire, je fais des espaces à 4, 5, ou 11 dimensions ou plus. Je ne peux plus me les représenter mentalement mais ce sont toujours des espaces vectoriels et tous les calculs que je faisais dans l’espace à 3 dimensions continueront de marcher.
  3. Maintenant, je vais faire un truc plus gonflé. Jusqu’à présent je multipliais mes vecteurs par des nombres ordinaires, des nombres réels. Maintenant je vais décider qu’on peut les multiplier par des nombres complexes. Ça va rajouter pas mal de difficultés pour faire certains calculs, mais ils s’en fichent, les matheux. Ils trouvent ça cool, les difficultés.
  4. Et pour finir, je vais rajouter une infinité de dimensions à mon espace vectoriel. Mais comme il y a plusieurs sortes d’infinis en mathématiques, je vais même lui donner autant de dimensions qu’il y a de points dans une droite.

Voilà, c’est tout, je viens de fabriquer l’espace de Hilbert que les physiciens aiment bien. Ils l’aiment d’autant plus qu’au lieu de se limiter à mettre des flèches dedans (des vecteurs), ils vont carrément y mettre des fonctions. Ils peuvent le faire parce que là dedans, les fonctions se comportent comme les vecteurs: On peut les additionner entre elles, on peut les multiplier par des nombres réels ou complexes, on peut d’une certaine manière calculer la « distance » qui les sépare, bref, tous les calculs qu’on faisait avec des flèches dans notre bon vieil espace à 3 dimensions, ils marchent aussi (à condition de prendre quelques précautions) avec des fonctions dans les espaces de Hilbert.

Parmi les précautions à prendre, si pour une raison ou une autre vous décidez de calculer les distances d’une manière originale, il ne faut pas que ça fasse apparaître des trous (c’est à dire des endroits inaccessibles à vos calculs). Même des trous microscopiques pourraient mettre un bazar pas possible. Il ne faudra donc pas oublier de demander aux mathématiciens de reboucher les trous de votre espace. Ils font ça très bien avec une magie dont ils ont le secret et les physiciens leur font confiance.

Mais attention! Tout ce que je viens d’écrire ici ne concerne qu’un cas très particulier d’espace de Hilbert.

Les mathématiciens diront, et ils ont raison, que le cas général est beaucoup plus vaste que ça. Ce que je viens de faire, c’est comme si j’avais tracé une droite sur une feuille de papier en vous disant: «Ceci est un exemple de droite». Les mathématiciens diraient «Ouh là là mais pas du tout! Ceci n’est qu’un exemple hyper banal de droite! Pour comprendre vraiment ce qu’est une droite, il faut commencer par étudier pendant plusieurs années les axiomes de Hilbert!»

Et ils ont raison !

Pour aller plus loin:

Crise des fondements

Distance_(mathématiques)

Axiomes de Hilbert

Espace de Hilbert