Le "paradoxe" du tunnel d'Einstein

Nous allons maintenant affronter deux pseudo-paradoxes célèbres qui vont mettre notre compréhension de la relativité restreinte (celle de 1905) et nos intuitions à l'épreuve:

• Le "paradoxe" du tunnel d'Einstein
• Le "paradoxe" des jumeaux de Langevin

Commençons par le tunnel d'Einstein.

Les données du problème

Nous imaginons un train à l'arrêt dans un tunnel, comme ci-dessous:

Le train est un peu plus long que le tunnel. Ce qui fait qu'il serait impossible de l'enfermer dans le tunnel, n'est-ce pas ?

Voyons ce qu'en dit la théorie de la relativité, dans le cas où le train se déplacerait à une vitesse gigantesque de 86.6% de la vitesse de la lumière, soit environ 260000km/s. Évidemment, aucun train de voyageur n'ira jamais à une vitesse pareille, personne ne disposera jamais d'assez d'énergie pour ça. Mais avec un "train" de particules, ça se produit tous les jours dans les accélérateurs de particules.

Pourquoi cette vitesse plutôt qu'une autre? Parce qu'elle correspond à un facteur de Lorentz de 2, ce qui va simplifier considérablement la suite de nos calculs.

Voici donc le résultat prédit par la théorie de la relativité:

La longueur du train est divisée par deux et il devient possible d'enfermer le train dans le tunnel.

OK, mais vu du train, c'est le tunnel qui se déplace à toute vitesse! C'est donc la longueur du tunnel qui doit être divisée par deux, n'est-ce pas? Et du coup, il est encore plus impossible qu'avant d'enfermer le train dans le tunnel !?!

Alors, on peut ou on ne peut pas enfermer ce train relativiste dans le tunnel? Comment pourrait-on concilier ces deux réalités différentes???? Laquelle des deux est vraie???

La clé de l'énigme

Souvenons-nous: La clé, en relativité, c'est que la notion de simultanéité est relative.

Or qu'est que nous voulons dire exactement dans une phrase telle que: «Enfermer le train dans le tunnel»?

Nous voulons dire que la porte avant est fermée et qu'au même moment la porte arrière est fermée aussi, n'est-ce pas?

Et bien sûr, c'est là la clé de l'énigme: Pour ce qui est de la position des portes, le "au même moment" dans le référentiel du tunnel n'est pas le même "au moment moment" que quand elles sont vues du train. Si les portes sont synchronisées dans le référentiel du tunnel, alors elles ne le sont pas dans le référentiel du train. Nous avons étudié ça en détail dans ce chapitre précédent, mais regardons de plus près comment ça s'applique à cet exemple.

En relativité, il n'y a rien de simultané dans l'absolu. Il n'y a que des événements qu'on positionne dans un référentiel (qui n'est qu'une grille de représentation) ou dans un autre.

Or quels sont les événements pertinents dans ce problème?

1. Est-ce que la porte avant du Tunnel est fermée quand l'avant du train approche d'elle?
2. Est-ce que la porte arrière du tunnel est fermée quand l'arrière du train vient d'entrer dans le tunnel ?

Ces deux événements sont absolus, comme tous les événements.

En revanche, la phrase suivante:

• Est-ce que la porte arrière du tunnel est fermée au moment où la porte avant est fermée?

ne correspond à aucun événement. Elle mélange deux événements distincts: ce qui se produit à l'avant et ce qui se produit à l'arrière. Il n'y a pas de "au même moment " qui tienne dans ce cas. Bien sûr, ce genre de phrase est tout à fait acceptable aux petites vitesses auxquelles nous sommes habitués, parce que l'erreur est alors négligeable, mais elle devient totalement fausse aux très grandes vitesses.

Plus en détail

Puisqu'il s'agit de nouveau d'un problème de simultanéité et d'écoulement du temps, nous allons mettre des horloges dans nos images:

• Des horloges rouges dans le référentiel du train, qui se déplace en même temps que le train.
• Des horloges bleues dans le référentiel du tunnel, qui se déplace en même temps que le tunnel (du point de vue du train).

Nous aurons synchronisé les horloges bleues, de leur point de vue, au moyen de la synchronisation d'Einstein, et pareil, de leur point de vue à elles, pour les rouges.

Et pour faire bonne mesure, nous synchronisons aussi l'horloge rouge en tête du train avec l'horloge bleue de la porte d'entrée. nous pouvons le faire sans aucun calcul compliqué, elles démarrent ensemble quand elles se touchent, ce qui constitue bien un seul et même événement commun aux deux.

J'ai affecté l'horloge rouge d'un facteur de Lorentz de 2, donc je l'ai "comprimée" d'un facteur 2 dans le sens du mouvement, mais souvenons-nous que tout ceci n'est pas une image "réaliste", puisque la réalité est en 4 dimensions. Cette image n'est qu'une partie d'un modèle, d'une carte, d'un référentiel.

Dans le référentiel bleu

L'image ci-dessous représente le premier événement. Comme tous les événements, il sera le même dans tous les référentiels, c'est à dire dans toutes les cartes, dans toutes les représentations:

• Au moment où la tête du train arrive à la porte d'entrée du tunnel, l'horloge rouge marque 0, l'horloge bleue aussi et la porte est ouverte.

• Un instant plus tard, les signaux de synchronisation commencent à s'éloigner des horloges. Celui émis par l'horloge bleue va vers la droite et vers l'autre porte du tunnel, celui émis par l'horloge rouge va vers la gauche et vers l'arrière du train.

• A peine plus d'une demi-seconde plus tard (dans le référentiel bleu), le signal de synchronisation parti vers la gauche à la vitesse de la lumière a déjà atteint l'horloge rouge en queue du train qui se rapprochait de lui presque à la vitesse de la lumière. Cette horloge indique 2 secondes car il n'y a pas d'événements alternatifs: Dans tous les référentiels, quand le signal arrive à l'horloge de fin de train, celle-ci indique 2 secondes.

En ce qui concerne celui qui est parti vers la droite, il a à peine dépassé l'horloge rouge en tête du train, puisqu'il va à la vitesse de la lumière alors que le train va à peine moins vite que la lumière.

• Encore un peu plus tard, l'horloge bleue a l'entrée du tunnel marque un peu plus d'une seconde. A ce moment là, elle se trouve au même endroit que l'horloge rouge placée à la fin du train. C'est un autre événement, qui sera le même dans tous les référentiels: Lorsque la fin du train arrive à la porte d'entrée, l'horloge de la porte d'entrée marque un peu plus de 1 seconde et celle placée à la fin du train marque un peu plus de 2 secondes.

• Et voici le moment tant attendu: Lorsque les horloges bleues, celles du tunnel, marquent toutes les deux un peu moins de 2 secondes, les deux portes sont toutes les deux fermées.

Du point de vue du référentiel bleu, à ce moment-là, le train est donc "enfermé" dans le tunnel. Mais ça, ça n'est pas un événement car en relativité, un événement, c'est ce qui se passe à un endroit donné à un moment donné. Dire que le train est enfermé, ça prend en compte des choses qui se sont produites à des endroits différents (la porte d'entrée et la porte de sortie). Ce dessin n'est donc qu'une représentation de la réalité, qui représente sur une même image des événements différents. Cette représentation n'est valable que dans le référentiel bleu.

Remarquons que le signal lumineux parti vers la droite, lui, n'est pas encore arrivé à la porte de sortie du tunnel, qui ne marque pas encore deux secondes.

• Un instant plus tard, le signal lumineux arrive à la porte de sortie. C'est un événement: L'horloge de sortie marque 2 secondes et la porte s'ouvre. Le train,qui ne va pas tout à fait à la vitesse de la lumière n'est pas encore arrivé à la porte, et maintenant, il peut donc sortir.

• Ce qui se produit un instant plus tard. Nouvel événement: La tête du train sort du tunnel, son horloge marque un peu plus d'une seconde, celle de la porte un peu plus de 2 secondes. Ce qui correspond bien au facteur de Lorentz de 2.

Résumons tout ceci en animation:

Dans le référentiel rouge

Représentons les choses dans le référentiel rouge maintenant, c'est à dire celui du train.

• L'événement du départ est évidemment le même. Quand le train entre dans le tunnel les deux horloges sont à zéro et la porte est ouverte.

• De nouveau, un instant plus tard, les signaux de synchronisation commencent à s'éloigner des horloges. Celui émis par l'horloge bleue va vers la droite et vers l'autre porte du tunnel, celui émis par l'horloge rouge va vers la gauche et vers l'arrière du train. La seule différence, c'est que dans le référentiel rouge, celui du train, on considère que c'est le tunnel qui se déplace et que le train reste immobile.

• A peine plus d'une demi-seconde plus tard (dans le référentiel rouge cette fois), le signal de synchronisation parti vers la droite à la vitesse de la lumière va bientôt atteindre l'horloge bleue en sortie du tunnel. En effet, elle se rapproche de lui presque à la vitesse de la lumière. Quand elle l'atteindra, cette horloge indiquera 2 secondes car il n'y a pas d'événements alternatifs: Dans tous les référentiels, quand le signal arrive à l'horloge de fin de sortie du tunnel, celle-ci indique 2 secondes. Pour le moment, la porte est fermée.

En ce qui concerne le signal parti vers la gauche, il a à peine dépassé l'horloge bleue de départ puisqu'il va à la vitesse de la lumière alors que l'entrée du tunnel va elle aussi dans la même direction, à peine moins vite que la lumière.

Et voici de nouveau le moment tant attendu, mais en comparant les deux représentations, les deux référentiels, maintenant.

• En haut, le référentiel bleu que nous avons vu tout à l'heure, lorsqu'il est un peu moins de 2 secondes à toutes ses horloges, qui sont sycnhronisées entre elles. Dans le référentiel bleu, on voit tout ce qui est fixe dans ce référentiel au moment où il est 2 secondes partout dans ce référentiel. Mais du coup, tout ce qui est en mouvement rapide apparait un peu comme dans une chronophotographie, c'est à dire à des moments différents du référentiel rouge.
• En bas, c'est le contraire. Tout ce qui est montré est montré à l'instant où il est en environ une demi-seconde partout dans le référentiel rouge. Mais du coup c'est la partie bleue, c'est à dire tout ce qui est immobile par rapport au tunnel, qui est représenté à la manière d'une chronophotographie. Lorsqu'il est une demi-seconde partout dans le référentiel rouge, il est presque 2 secondes à la porte de sortie, qui va bientôt s'ouvrir, mais moins d'un quart de seconde à celle d'entrée, qui ne s'est pas encore fermée.

Autrement dit, ce qui est montré dans le référentiel du haut ressemble à l'image ci-dessous, lorsque le paysage est immobile et que le sportif est montré à différents instants, alors que ce qui est en bas, ressemblerait à une photo ou il y aurait une seule image du skieur, mais plusieurs images du paysage, prises à ces instants différents.

Alors, laquelle des deux situations est "la vraie" ? Aucune bien sûr. Seuls sont "vrais" les événements, c'est à dire ce qui se passe à un endroit précis donné et à un instant donné. Quand une horloge reçoit le signal lumineux qui lui est destiné, elle marque 2 secondes. Quand la porte s'ouvre au moment où son horloge parque 2 secondes, elle le fait dans tous les référentiels. Mais dès qu'on veut représenter sur une même image des événements distants les uns des autres, on ne peut les représenter que par des "chronophotographies".

Et bien sûr, nous n'allons pas nous quitter sans montrer tout ça du point de vue du référentiel rouge, en animation:

Si vous comparez attentivement les deux animations, vous constaterez qu'elles montrent bien toutes les deux les mêmes événements. Tout ce qui se passe à un endroit précis donné à un moment donné dans l'une se passe à l'identique dans l'autre. La seule différence, c'est l'effet "chronophotographie", autrement dit en termes plus physiques, la perte du "au même moment", autrement dit la perte de la simultanéité.

Ultime tentative de "sauver la simultanéité"

À ce stade, nous allons tenter une ultime tentative pour "sauver la simultanéité". Je voudrais préciser que je me hasarde un peu à essayer de faire quelque chose que je n'ai jamais vu ailleurs, donc prenez-le avec encore plus de pincettes que tout le reste.

Puisque les référentiels sont en quelque sorte des "chronophotographies", est-ce qu'on ne pourrait pas essayer de faire une "chronophotographie hybride", sur laquelle toutes les horloges, les rouges comme les bleues, montreraient tout la même heure?

J'ai essayé, d'une manière un peu artisanale, à partir du référentiel bleu, pour voir ce que ça donne. J'ai choisi 2 secondes parce que c'est le moment où, dans le référentiel bleu, le train semble enfermé dans le tunnel.

Voici le résultat:

Au niveau des horloges tout semble marcher assez bien. en revanche les problèmes semblent évidents:

• Le train semble avoir désormais deux fois sa longueur "normale" (sa "longueur propre", celle dans son propre référentiel).
• Et surtout on voit apparaître des événements qui ne se sont pas produits: Le train traverse les portes du tunnel:

Essayons maintenant de faire la même opération en essayant de faire une "image composite" à partir du référentiel rouge.

À première vue, ça semble mieux, mais ça ne l'est pas. Toutes les horloges marquent de nouveau toutes la même heure, mais elles ne sont plus au bon endroit à l'heure qu'elles indiquent. Ainsi, l'horloge rouge de queue de train, qui était trop à gauche dans la tentative précédente par rapport à l'endroit où elle se trouvait quand l'événement réel s'est produit, est maintenant trop à droite, presque déjà au milieu du tunnel. Par ailleurs, c'est le tunnel qui a désormais deux fois sa longueur "normale".

En conclusion: Non, ça ne marche pas puisque ces "images composites", en essayant de sauver une "simultanéité générale" qui n'existe plus aux grandes vitesses donc en théorie de la relativité, montrent des positions erronées, d'où découlent des événements "alternatifs" qui ne se produisent pas dans la réalité.

C'est donc bien pire que les référentiels relativistes qui, eux au moins, même s'ils ont l'air bizarres avec leur contraction des longueurs et leurs horloges décalées, ont l'énorme mérite de ne pas montrer des événements qui n'existent pas dans le monde réel.

Retour au quotidien

Mais bien sûr, dans la vie réelle et à notre échelle, tout ça ne se produit jamais. Pourquoi? Parce que nous sommes beaucoup trop lourds et beaucoup trop lents.

• Beaucoup trop lourds: L'énergie nécessaire pour accélérer un train à 86% de la vitesse de la lumière n'est même pas envisageable à notre échelle. On peut le faire avec des "trains" de particules dans les accélérateurs de particules, mais certainement pas avec de vrais trains.
• Beaucoup trop lents: Les vrais trains vont tellement lentement par rapport à la vitesse de la lumière que dans la réalité quotidienne, il est parfaitement possible de trouver des cas où un train court pourra être enfermé dans le tunnel dans tous les référentiels. Et inversement, des cas où un train trop long n'ira jamais assez vite pour pouvoir être enfermé dans aucun référentiel.

Pour aller plus loin

• Intervalle d'espace-temps sur Wikipédia
• Métrique de Minkowski sur Wikipédia
• Un diagramme de Minkowski animé sur Wikipédia

À suivre...

• Chapitre suivant: Le "paradoxe" des jumeaux de Langevin

Sommaire de la série: Quantique et relativité pour les francs-maçons

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