Invariants relativistes

Arrivés à ce point de notre voyage, on peut se demander si tout est vraiment relatif, s'il n'y a vraiment rien d'absolu dans toute cette physique, bref s'il ne reste pas au moins un peu de terrain stable sur lequel on pourrait se baser.

La réponse est "oui". Les durées sont relatives, les distances sont relatives aussi, mais elles ne sont pas n'importe quoi, loin de là, puisqu'elles se calculent de manière précise.

Et aussi, bonne nouvelle, il reste des quantités qui reste invariantes en relativité: Elles restent les mêmes dans tous les référentiels. La plus "fondamentale" d'entre elle est l'intervalle d'espace temps.

NB: Bon, il y a un peu plus de maths dans ce chapitre. Rien qui dépasse le niveau 3ème de collège, mais si les maths vous donnent des boutons, vous pouvez passer directement au chapitre suivant, sans craindre de décrocher.

Mentionnons d'abord trois autres quantités dont on parle souvent en relativité:

Temps propre

Le temps propre entre deux événements, c'est la durée observée à l'horloge celui qui considère que ces deux événements se sont produits au même endroit.

Dans le cas des muons atmosphérique, c'est la durée qui s'est écoulée à l'horloge du muon. En effet, dans le référentiel du muon, l'événement de sa création s'est produit là où il était, donc à une distance nulle de lui au moment de sa création, et pareil pour sa détection: Elle s'est produite 2_μs, mais toujours à l'endroit précis où il se trouvait, donc toujours à une distance nulle de lui à ce moment là.

Croyez moi, c'est une erreur fréquente que d'oublier que tout le référentiel de l'objet en mouvement avance en même temps que lui. En effet, dans le référentiel du muon, le muon est immobile, c'est la Terre qui avance vers lui. Nous verrons dans un instant que c'est une erreur que j'ai encore faite il y a quelques instants... et que Chat-GPT a faite lui aussi!

Distance propre

Pour la "distance propre", c'est un peu plus rusé: C'est la distance entre deux événements dans le référentiel où ils se sont produits de manière simultanée. Dans l'exemple de notre muon, elle n'existe pas car il n'existe aucun référentiel dans lequel la création du muon et sa détection se seraient produits au même moment.

Pour répondre à une question que vous vous posez peut-être, il existe des situations où c'est le contraire, à savoir que la distance propre existe, car il y a des référentiels dans lesquels ces deux événements se sont produits au même moment, mais du coup c'est le temps propre qui n'existe plus, car aucun objet ne peut se rendre instantanément de l'un à l'autre^[1].

Longueur propre

Vous entendrez peut-être parler aussi de longueur propre mais il s'agit de tout à fait autre chose que la distance propre.

La "distance propre", c'est la distance entre deux événements, comme la naissance et la détection du muon.

La "longueur propre", c'est autre chose. C'est la longueur d'un objet ou d'un trajet, telle quelle est mesurée par celui qui est immobile par rapport à eux.

Reprenons l'exemple de notre muon:

La "distance propre" entre les événements "création" et "détection" n'est pas définie, puisqu'il n'existe aucun référentiel dans lequel ces deux événements se seraient produits au même moment.

En revanche, la "longueur propre" du trajet est très bien définie: C'est la longueur de trajet entre l'endroit où le muon a été créé et l'endroit où il a été détecté, telle qu'elle est mesurée dans le référentiel ces endroits ne bougent pas. Donc 10 km.

Confondre "distance propre" et "longueur propre" conduit à tous les coups à des incohérences.

Au final, il reste donc des choses à peu près "normales" et conformes à notre intuition, même dans la théorie de la relativité. D'ailleurs, il suffit d'arrêter de gigoter à des vitesses déraisonnables et tout redevient "normal".

Analogie 3D

Afin de nous préparer à aborder le véritable invariant dans la théorie de la relativité, qui est ce qu'on appelle l'intervalle d'espace-temps, je voudrais revenir sur une analogie célèbre que nous avons déjà rencontrée, à savoir celle-ci:

Approfondissons un peu. Il s'agit d'un objet en 3 dimensions (en volume) qu'on projette sur des écrans plats, autrement dit en 2 dimensions.

Quel intérêt pour nous?

Et bien précisément, dans un instant, on va se retrouver avec un monde réel, composé d'événements qui se produisent dans un espace-temps en 4 dimensions, et qu'on ne peut se mesurer qu'en les séparant de manière relative:

dans l'espace d'une part.
et dans le temps d'autre part.

Un peu comme si on les projetait sur un écran pour l'espace et un autre écran pour le temps.

Faisons le progressivement et d'une manière un peu différente, maintenant, en faisant tourner l'objet:

Quand l'objet tourne, la longueur de sa projection sur l'un des écrans diminue, alors que l'autre augmente.

Et bien il se passe quelque chose d'un peu similaire (mais un peu seulement!) avec nos événements dans l'espace-temps: Quand on se déplace par rapport à eux, la distance qui les sépare diminue... mais la durée aussi ! Il y a donc quelque chose qui ressemble à une rotation, mais avec une inversion quelque part.

Intervalle d'espace-temps

Il est temps de parler du véritable invariant de la relativité, qui est "l'intervalle d'espace-temps". En relativité, les durées changent selon les référentiels, les distances aussi, mais l'intervalle d'espace-temps, lui, restera toujours le même.

Voyons de quoi il s'agit.

Dans l'exemple précédent, quand la barre tourne, la longueur de sa projection sur l'écran de gauche "A" change, celle sur l'autre écran "B" change aussi, mais la longueur de la barre elle même "C" ne change pas, elle est invariante.

Et ces trois grandeurs sont reliées entre elles par la célèbre égalité de Pythagore:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Et bien en relativité, il va se passer quelque chose de similaire pour cette sorte particulière de distance, qu'on appelle «intervalle d'espace-temps».

Elle est définie de la manière suivante:

Δ s^{2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ l^{2}

On peut simplifier considérablement la formule (et les calculs qui vont avec) en se plaçant dans un système d'unités où les durées sont exprimées en secondes et les longueurs en secondes-lumière (soit environ 300000km). Avec de telles unités, la vitesse de la lumière, notée "c" dans la formule, vaut une seconde-lumière (d'espace) par seconde (de temps), donc 1. Et la formule se simplifie pour devenir:

Δ s^{2} = Δ t^{2} - Δ l^{2}

on écrit même parfois encore plus simplement:

s^{2} = t^{2} - l^{2}

Écrit comme ça, ça ressemble tout à fait au théorème de Pythagore, mais avec un signe moins à la place du plus. C'est ce qu'on appelle la "métrique de Minkowski". Elle caractérise l'espace-temps dans lequel nous vivons.

Un exemple numérique (avec l'aide de ChatGPT)

J'ai voulu prendre un exemple numérique simple, mais je ne m'en sortais pas. Alors j'ai demandé à l'IA de Mistral, qui ne s'en est pas sortie non plus. J'ai fini par demander à chat GPT... qui a fait exactement la même erreur que moi (il faut croire que c'est une erreur courante dans ses données d'apprentissage), mais qui s'en est aperçu immédiatement et a corrigé dans la foulée. Expérience très instructive!

Voici mon exemple:

On imagine un vaisseau spatial qui va à la vitesse de 86.6% de la vitesse de la lumière vers l'étoile Alpha Centauri, située à 4 années-lumière de nous.

Ça donne un facteur de Lorentz de 2.

Du coup, pour nous terriens, la distance parcourue par le vaisseau est de 4 années-lumière, et son temps de parcours est de:

$\frac{4}{0.866} \approx 4.62 années$ .

Mais pour les gens qui sont dans le vaisseau, comme le facteur de Lorentz est de 2, la distance parcourue et le temps de parcours sont divisés par deux. Donc 2 années-lumière parcourues en 2.31 années.

J'ai demandé à chatGPT de vérifier que les intervalles d'espace-temps sont restés invariants et voici, à droite, le début de sa réponse:

Bon, je ne rigole pas, vu que si j'ai fini par lui demander, c'est bien parce que je faisais exactement la même erreur et que je ne m'en sortais pas.

Ce qui est amusant, c'est que ChatGPT lui aussi s'aperçoit de son erreur et qu'il la signale. Bien qu'en me l'attribuant à moi!!! («Tu as utilisé»)! La mauvaise foi de ces machines est quand même ahurissante... à moins que quelqu'un lui ait soufflé que j'avais fait la même erreur qu'elle ??? 😆!

Mais du coup, lui, il la corrige dans la foulée, comme ci-dessous.

Chat-GPT: 1 Christophe: 0

Le problème, c'est qu'à tout moment, les voyageurs de la fusée ont bien calculé qu'ils avaient parcouru une distance de deux années-lumière. Mais quand on fait les calculs d'intervalle d'espace-temps, il faut les faire avec les coordonnées dans le référentiel qu'on utilise. Or l'origine du référentiel du vaisseau avance en même temps que lui, ce qui fait que quand il arrive sur Alpha-centauri, dans son référentiel à lui l'événement "arrivée sur Alpha centauri" se produit très exactement à l'endroit où il se trouve lui-même au moment de son arrivée, donc à une distance de zéro par rapport à lui.

Chat-GPT corrige donc son calcul ainsi et obtient le bon résultat:

Résumé des résultats de l'exemple

Résumons les résultats de cet exemple car il nous resservira quand on étudiera le pseudo-paradoxe dit "des jumeaux de Langevin".

Dans le référentiel de la Terre
- Longueur du parcours: 4 années-lumière
- Durée du parcours: 4.62 ans
- Intervalle d'espace entre les événements "Départ" et "Arrivée": 4 années-lumière
- Intervalle de temps entre les événements "Départ" et "Arrivée": 4.62 ans
- Intervalle d'espace-temps: $s = \sqrt{4.6 2^{2} - 4^{2}} = \sqrt{5.34} = 2.31$

Dans le référentiel de la Fusée
- Longueur du parcours: 2 années-lumière
- Durée du parcours: 2.31 ans
- Intervalle d'espace entre les événements "Départ" et "Arrivée": 0 (Car les deux événements se produisent à l'endroit où le vaisseau se trouve quand ils se produisent.)
- Intervalle de temps entre les événements "Départ" et "Arrivée": 2.31 ans
- Intervalle d'espace-temps: $s = \sqrt{2.3 1^{2} - 0^{2}} = \sqrt{5.34} = 2.31$

Notes et références

↑ Je laisse de côté le cas particulier de la lumière elle-même, puisque dans son "référentiel" à elle, aucun distance ni aucune durée n'existent plus.

Pour aller plus loin

Intervalle d'espace-temps sur Wikipédia
Métrique de Minkowski sur Wikipédia

À suivre...

Complément mathématique facultatif: Espace de Minkowski

Chapitre suivant: Le paradoxe du tunnel d'Einstein

Sommaire de la série: Quantique et relativité pour les francs-maçons

Retour au sommaire général

[1] Je laisse de côté le cas particulier de la lumière elle-même, puisque dans son "référentiel" à elle, aucun distance ni aucune durée n'existent plus.

[1]