Contraction des longueurs

Le deuxième effet relativiste qu'on étudie, bien souvent, après celui du ralentissement des horloges est celui qu'on appelle habituellement "contraction des longueurs". C'est le nom habituel. Comme celui de "dilatation du temps", je le trouve assez trompeur, comme nous allons le voir.

Mais commençons.

Retour sur les muons atmosphériques

Une des manières les plus immédiates d'en venir à la contraction des longueurs est de repartir de la question des muons atmosphériques que nous avons vue au chapitre précédent.

Les muons atmosphériques se forment à environ 10 km d'altitude. La lumière met environ 30 microsecondes pour parcourir une telle distance.

L'espérance de vie de ces muons n'est que d'un peu plus de 2 microsecondes. Comme ils ne peuvent pas aller plus vite que la lumière, ils ne devraient jamais arriver jusqu'au sol.

Or ils y parviennent, après un parcours qui leur a pris environ 36 microsecondes.

Pourquoi?

Parce qu'en voyageant à 92.6% de la vitesse de la lumière, soit environ 278000_km/s, il ne s'est écoulé que 2 microsecondes pour eux, à cause du ralentissement de leur "horloge interne".

Bien, mais de quelle manière les muons, eux, ont-ils vécu cette expérience? Pour eux, leur horloge n'a pas ralenti. Elle avance toujours d'une seconde toutes les secondes.

Il faut se souvenir maintenant que si les horloges peuvent donner des résultats différents, la vitesse à laquelle le muon se rapproche du sol, du point de vue du sol, doit être égale à celle à laquelle le sol se rapproche du muon, du point de vue du muon. Si les durées peuvent être relatives, la vitesse de rapprochement entre deux objets, elle, doit rester la même dans les deux référentiels, sinon on pourrait les distinguer et ça violerait le premier postulat.

Réfléchissons ensemble: Une vitesse, c'est une distance divisée par une durée. Pour que la vitesse de rapprochement reste la même, si la durée a été divisée par 18 dans un référentiel, alors la distance doit avoir aussi été divisée par 18 dans ce même référentiel:

• Vu du sol, la vitesse du muon était:

$\frac{10\text{km}}{36\text{μs}}\approx 278000\text{km/s}$

• Vu du muon, le trajet a pris 18 fois moins de temps. Pour que la vitesse de déplacement reste la même, il faut donc que la distance parcourue ait elle aussi été divisée par 18:

$\frac{0.555\text{km}}{2\text{μs}}\approx 278000\text{km/s}$

Il semblerait donc qu'en relativité, le raccourcissement de la durée du parcours dans le référentiel du muon (2μs au lieu de 36μs) doive s'accompagner d'une diminution de la distance parcourue dans ce même référentiel (0.555km au lieu de 10km).

Mais ce raisonnement peut sembler un peu insuffisant. Nous allons donc le compléter en retournant à nos horloges imaginaires qui se déplacent dans le vide intergalactique à très grandes vitesses sur des très grandes distances, pour voir si nous arrivons à la même conclusion (spoiler: oui! 😎).

Analyse avec les synchronisations

Nous allons donc retourner dans le vide intergalactique avec nos horloges. Souvenons-nous des deux contraintes:

• Il n'y pas pas de réalité alternative: Tous les événements qui se produisent dans un référentiel doivent se produire aussi, à l'identique, dans l'autre.
• La vitesse de la lumière doit rester la même dans les deux référentiels et dans toutes les directions.

Dans le référentiel rouge

Dans le référentiel rouge, rien de nouveau par rapport à ce qu'on a vu précédemment. Les horloges sont immobiles et la lumière va à la vitesse de la lumière dans les trois branches (gauche, haute et droite). Les horloges sont synchronisées.

Les petits cercles s'agrandissent, à partir de leur source, à la vitesse de la lumière. Cet ajout nous sera utile plus tard.

Dans le référentiel bleu

Dans le référentiel bleu, les horloges rouges bougent, mais la vitesse de la lumière doit rester la même partout. Afin de mieux le mettre en évidence, nous allons dessiner de nouveau des cercles qui s'agrandiront, à la vitesse de la lumière, à partir de l'endroit où la lumière à été émise.

Mais attention! Nous parlons maintenant de l'endroit où la lumière a été émise dans le référentiel bleu. Cet endroit où la lumière a été émise sera fixe par rapport à nous et du coup, les horloges rouges vont s'en éloigner.

Tout à l'heure, dans le référentiel rouge, ce n'était pas le cas. Le point d'émission de la lumière restait fixe par rapport à l'horloge rouge.

Désolé d'insister aussi lourdement, mais l'expérience montre que c'est un point important, souvent source d'erreurs et d'incompréhension, et qu'il est facile de l'oublier. En relativité, depuis Galilée déjà, il n'y a pas d'espace absolu, donc pas de "point fixe" dans l'absolu. Un "point fixe", c'est toujours un point fixe par rapport à celui qui le regarde. La relativité d'Einstein ne change rien à ça. Au contraire, son premier postulat consiste à respecter la relativité galiléenne.

Et surtout, souvenons-nous: Les référentiels ne sont pas la "réalité". Ce ne sont que des cartes, des grilles de coordonnées, qui nous permettent de nous la représenter et de calculer exactement ce qui va se produire dans le futur.

• Dans le référentiel rouge, le point d'émission de la lumière est fixe et les horloges rouges ne bougent pas par rapport à lui.
• Dans le référentiel bleu, le point d'émission de la lumière est également fixe mais les horloges rouges s'en éloignent.
• Dans les deux référentiels, la vitesse de la lumière est la même.

Il est donc tout à fait normal qu'ils ne mesurent pas les mêmes distances de parcours, et donc pas non plus les mêmes durées de parcours.

Encore une fois, ceci n'a rien à voir avec la relativité d'Einstein, ce n'est que la bonne vieille relativité galiléenne: Il n'y a pas de point fixe dans l'absolu. C'est déjà très contre-intuitif, car dans la vie courante nous avons l'habitude d'un référentiel fixe (le bon vieux sol de notre bonne vieille planète) et que, sauf rares exceptions (par ailleurs très déstabilisantes) on a l'habitude de le considérer comme immobile. Même si, depuis l'école, on a appris que notre planète tourne et que le sol sur lequel nous nous trouvons tourne avec elle.

Fausse solution

Regardons maintenant de quelle manière on pourrait essayer de représenter (mais à tort!) les choses dans le référentiel bleu. Je mets le conditionnel, car nous allons voir que quelque chose ne colle pas dans cette représentation. Autrement dit, le référentiel bleu que nous allons voir maintenant est fautif.

"Fautif" ne signifie pas qu'il ne serait pas le référentiel "réel" puisque nous savons qu'aucun référentiel n'est plus "réel" qu'un autre. "Fautif" signifie qu'il ne permet pas de calculer les bons résultats. Autrement dit, comme nous allons le voir, les événements qu'il calcule ne sont pas ceux qui se produisent dans le monde réel.

Voici ce qui se passe dans ce référentiel fautif. Je vais essayer de synchroniser de nouveau mes horloges rouges en mouvement. Les rayons lumineux iront tous à la même vitesse, dans toutes les directions et pour mieux le mettre en évidence, je vais tracer des cercles qui s'agrandiront à partir du point d'émission des rayons lumineux. Comme mes horloges ne sont pas synchronisées, je ne dessine que l'aiguille de celle du centre pour le moment. Voici le résultat:

Vous voyez peut-être déjà ce qui cloche ? Il faut bien regarder !

Faisons le ensemble de plus près:

Au bout d'un peu moins une demi-seconde à l'horloge rouge du centre, le rayon lumineux de gauche a déjà atteint sa cible, qui venait à sa rencontre. Celui du haut est encore assez loin de la sienne et celui de droite encore plus de la sienne, qui fuit devant lui.

Au bout d'une seconde, le rayon du haut a atteint sa cible, celui de droite n'a pas encore atteint la sienne, celui de gauche est déjà en train de revenir.

Au bout de deux secondes, le rayon du haut est revenu sur la cible de départ. C'est conforme à la réalité des évènements observés dans le référentiel rouge, quand les horloges étaient immobiles. En revanche, les deux autres ne sont pas encore revenus! Quelque chose cloche dans notre modèle!

Chose intéressante, les deux rayons horizontaux reviennent bien simultanément sur l'horloge du centre. Le problème, c'est qu'ils arrivent un tout petit peu trop tard. Il faut donc modifier notre modèle pour en tenir compte.

Solution exacte

Arrivés à ce point, la solution devrait sembler évidente: Nous devons contracter les distances dans le sens du mouvement (ici horizontal) mais pas dans le sens transversal (ici la branche verticale) puisque dans ce sens, le résultat était correct.

De combien faut-il raccourcir les distances?

Et bien très logiquement, si vous avez consulté le petit supplément mathématique facultatif sur la question, on va essayer de le faire en fonction du facteur de Lorentz.

Voici le résultat:

Vous remarquerez (mais il faut bien regarder!) que j'ai raccourci les distances horizontales de la quantité assez faible qu'il fallait pour que maintenant, les 3 rayons reviennent bien en même temps sur l'horloge du centre, quand celle-ci marque 2 secondes. C'est désormais conforme à ce qui doit se passer pour que tous les référentiels prévoient bien les mêmes événements.

Et comme vous êtes observateur, et que vous commencez à vous familiariser avec les référentiels relativistes, vous devez aussi commencer à vous douter de la raison pour laquelle je n'ai pas montré les aiguilles des horloges latérales.

Ce sera en effet le sujet du prochain chapitre !

À suivre...

• Chapitre suivant: Désynchronisation des horloges en mouvement

Sommaire de la série: Quantique et relativité pour les francs-maçons

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