S02 E05 Le cœur du mystère quantique en une seule page

La quantique et les maths

Les mathématiques qui sont à la base des postulats de la physique quantique, ne sont pas très difficiles. Vous pouvez le croire, c'est Leonard Susskind [2] qui le dit. Elles sont très abstraites, assez inhabituelles, mais vraiment pas difficiles.

Attention, je ne suis pas en train de vous dire qu'on peut devenir chercheur en physique quantique sans être très bon en maths. Ce n'est pas le cas. Pourquoi ? Parce que dans la plupart des cas, les mathématiques nécessaires pour avancer se compliquent très vite et peuvent devenir horriblement difficiles.

Mais les mathématiques qui sont à la base des postulats de la mécanique quantique ne sont pas difficiles.

C'est déjà la même chose au fond en physique classique. La loi de base de la mécanique classique n'est pas difficile du tout. Si je sais quelle force s'exerce sur une bille et que je connais la masse de la bille, je peux calculer très facilement où se trouvera la bille une seconde plus tard. Tous les élèves de seconde le font.

La même loi permet de calculer la position de la Terre par rapport au Soleil de jour en jour. Ça devient alors un peu plus compliqué mathématiquement, mais ça reste accessible.

La même loi s'applique encore si on doit calculer l'évolution d'un système stellaire composé de deux étoiles et d'une planète géante [3]. Sauf que là, ça devient très vite horriblement compliqué. La loi de base de la mécanique de Newton est très simple, mais son application dans des cas réels peut rapidement devenir très compliquée.

C'est exactement la même chose pour la mécanique quantique. Les lois de base des postulats sont simples. Un peu plus compliquées quand même que celle de Newton, mais ça reste simple. Leur application dans les cas concrets peut devenir très compliquée, mais en ce qui nous concerne, nous laisserons ça aux ingénieurs et aux chercheurs et nous nous contenterons de leur faire confiance.

Nous ferons également confiance, par moments, aux logiciels de calcul. Notamment lorsque nous aurons besoin de calculer certaines choses avec des matrices. Plutôt que de le faire nous-mêmes, nous demanderons la réponse à un logiciel de calcul en ligne et nous ferons confiance à celui qui l'a programmé. La science est un sport collectif, personne ne peut tout faire tout seul.

Un photon et deux boîtes

Richard Feynman [1] disait que tout le mystère de la mécanique quantique était résumé dans l'expérience des "fentes de Young". Nous lui nous consacrerons une saison toute entière, mais nous allons dès à présent la résumer à l'extrême dans la petite expérience de pensée suivante.

Imaginons que j'aie sur mon bureau deux boîtes, une que je place à gauche de mon bureau et une autre que je place à droite.

Mon ami physicien, dans son laboratoire, de l'autre côté du mur, à préparé un appareil très futé capable d'envoyer des photons [4] un par un. Son appareil est réglé de telle manière que le prochain photon qu'il va envoyer aura une chance sur deux de terminer son voyage dans la boîte de gauche et une chance sur de le terminer dans celle de droite. Ça ressemble donc beaucoup à l'expérience de Stern et Gerlach à laquelle nous avons consacré beaucoup de temps depuis le début, mais avec des photons envoyés un par un.

Très peu de maths

Dans le formalisme mathématique, il y a toutes sortes d'états différents qui correspondent à cette réalité d'un photon qui a une chance sur deux d'arriver dans chacune des boîtes. Je vais choisir celui-ci :

Peut importe à ce stade ce que ça signifie. Regardez ça comme une œuvre d'art abstrait. Ça veut dire un état abstrait.

Il y a toutes sortes d'autres équations qui pourraient donner le même résultat. Je choisis celle-ci parce qu'elle est d'un niveau de complexité mathématique intermédiaire. Pas outrageusement simplifiée comme dans mes approximations de l'épisode 4, mais pas trop compliquée non plus.

Par exemple :

donnerait le même résultat à la fin. Vous pouvez me faire confiance, mais comme la confiance n'empêche pas le contrôle, vous pourrez le vérifier vous-même si vous savez faire ces choses là, ou demander à un copain, ou encore le faire vérifier par un logiciel de calcul en ligne [5].

Il existe donc plein d'états du photon envoyé par mon ami qui donneraient le même résultat à la fin, à savoir une chance sur deux qu'il arrive à gauche et une chance sur deux qu'il arrive à droite. D'ailleurs, l'état de ce photon change sans aucun doute au fil du temps, d'une manière que nous verrons plus tard. Mais tant qu'il n'est perturbé par rien, il restera dans un des innombrables états qui donnent le même résultat, «une chance sur deux», à la fin.

En revanche et sans aucun doute, dès que le photon aura touché le fond d'une des boîtes, il sera perturbé. Il laissera alors par exemple une trace sur une plaque photographique ou que sais-je. A ce moment-là, on pourra donc savoir de manière indiscutable s'il est arrivé dans la boîte de gauche ou dans celle de droite. Contrairement à ce qu'on entend dire parfois, l'observateur que je suis ne joue aucun rôle particulier là-dedans. Si mon ami regarde la plaque photographique et pas moi, ou si je la développe seulement dans 10 ans, ça ne change rien au fait que le photon aura désormais été enregistré dans une boîte et pas dans l'autre.

Mais, et c'est là tout le «mystère» de la quantique, un centième de milliardième de seconde avant, il sera toujours dans un des états quantiques combinés dont nous avons parlé, avec toujours une chance sur deux d'être détecté dans la boîte de gauche et une chance sur deux d'être détecté dans celle de droite.

Si on y réfléchit bien, ça signifie clairement que le photon, tant qu'il est dans un état combiné, n'est ni dans la boîte de gauche, ni dans celle de droite, et encore moins dans les deux à la fois. Il n'est nulle part, en fait.

Tant qu'il n'est détecté nulle part, il n'y a plus de photon du tout, du moins si on imagine qu'un photon est un corpuscule. Il n'y a que des formules mathématiques [6] qui donnent la probabilité qu'il se manifeste à gauche ou à droite.

Calcul de la probabilité

Nous allons maintenant découvrir un avant goût de la procédure bizarre qui permet de calculer les probabilités. Encore une fois, tout ceci est facultatif pour suivre la saison 2 de notre voyage et nous y reviendrons de manière beaucoup plus approfondie dans les saisons suivantes.

Imaginons donc que notre photon, un milliardième de seconde avant de toucher le détecteur ou le fond de la boîte, soit dans l'état suivant:

Comment calcule-t-on ses chances d'être détecté dans la boîte de gauche?

Nous consacrerons toute la saison 3 à la procédure exacte mais dans le cas présent, que j'ai choisi exprès pour cela, elle est extrêmement simple puisqu'il suffit de multiplier par lui-même le nombre de gauche, à savoir «racine de un demi». On obtient donc tout naturellement 1/2, donc une chance sur deux de détecter notre photon dans la boîte de gauche.

Je laisse ceux qui ont fait un peu de maths de niveau lycée vérifier que c'est pareil pour la boîte de droite, avec le nombre de droite [5].

Encore une fois, excusez-moi d'insister lourdement, les maths ne sont pas si difficiles. Ce qui est très difficile, car c'est complètement inhabituel à notre échelle, c'est d'admettre qu'un centième de milliardième de seconde avant de toucher le fond de la boîte de gauche, le photon n'était toujours pas davantage dans la boîte de gauche que dans celle de droite.

Qu'est-ce qui me permet d'affirmer une chose pareille ?

Je ne peux pas encore l'expliquer pour le moment, il va donc falloir me faire confiance et surtout faire confiance aux scientifiques. Il existe des expériences, que nous étudierons plus tard, qui permettent d'en être sûr.

Jusqu'au moment où le photon interagit avec l'environnement quelque part, il n'est nulle part. Il n'existe que des probabilités qu'il se manifeste ici ou là. Et qui plus est, comme nous l'avons vu rapidement dans l'épisode précédent, ces probabilités quantiques ne sont pas des probabilités ordinaires, comme celles que nous connaissons dans le monde ordinaire. Elles se mesurent avec des nombres complexes, qu'on peut visualiser comme ayant un angle. Enfin, dès que le photon se manifeste quelque part, toutes les probabilités qu'il se manifeste ailleurs disparaissent.

C'est là tout le «mystère» de la mécanique quantique. Richard Feynman disait qu'il n'y avait rien d'autre à comprendre et que tout le reste n'était au fond que des calculs d'application.

Et avec de la matière ?

À ce stade, vous vous dites sans doute quelque chose comme : «OK, avec de la lumière, ça se passe comme ça, parce que la lumière c'est plus une onde que des corpuscules, mais avec des atomes, qui sont de la vraie matière et qui sont beaucoup plus des corpuscules que des ondes, ça serait une autre paire de manches !».

Et bien, oui et non. Avec des atomes, comme les atomes d'argent de l'expérience de Stern et Gerlach, ça serait un peu différent mais pas tant que ça. Les atomes ne sont pas fondamentalement différents des "particules" qui les composent. En revanche, ils sont beaucoup plus gros et du coup, ils font beaucoup plus de rencontres avec d'autres "particules" et ça, ça peut changer pas mal de choses.

Mais nous approfondirons tout ceci dans les prochains épisodes.

Pour aller plus loin

Débat sur la mécanique quantique, La notion de localité, Juillet 2013, Claude Aslangul et Etienne Klein (CEA Sciences) Youtube, 2014, 48 min https://www.youtube.com/watch?v=Zn_vbpyT15M

Notes et références

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