Un peu plus d'algèbre générale

De Vents & Jardins
Aller à : navigation, rechercher

Série: La physique quantique en touriste
     Fondamentaux d'algèbre générale : Article précédent Article suivant

Accueil V&J.png



Dans ce troisième article, je vais aborder l'algèbre générale de manière un peu plus formelle mais toujours "en touriste" !

(Mise à jour: Août 2019)

Un mot d'introduction

Dans le premier article, j'ai vu quelques exemples basiques d'utilisation des règles de l'algèbre et j'ai réfléchi à la commutativité de l'addition de deux nombres entiers. Je l'ai comparée à celle de l'addition de deux mouvements.

Dans le deuxième, j'ai risqué un œil sur ce qui m'a semblé être le cœur du sujet en essayant de comprendre l'essentiel du concept d'isomorphisme. On parle d'isomorphisme lorsque deux systèmes différents (techniquement des "structures algébriques") fonctionnent de la même manière. Ce sont en quelque sorte des «analogies qui marchent super bien». Je me suis risqué sur ce territoire accidenté à travers un premier exemple très classique, celui des tables de logarithmes, puis à travers un autre exemple, simplifié au maximum, dans l'espoir non pas de dominer parfaitement le sujet, mais au moins d'avoir un début de compréhension intuitive de la manière dont tout cela s'organise.

Après ces quelques exemples très simples, il était temps maintenant pour moi de généraliser tout ça de manière un peu plus formelle. Je me suis appuyé pour cela sur:

  • le remarquable cours "Abstract algebra" de la chaîne Socratica de Youtube. C'est ce que j'ai trouvé de mieux sur ce sujet jusqu'à présent.
  • quelques vidéos de la chaîne "3Blue1Brown". Elles sont moins organisées que les cours d'Abstract algebra, mais parfois plus éclairantes sur des questions précises, notamment grâce à des animations très pédagogiques (J'adorerais savoir faire pareil).

Je ne vais évidemment pas tenter de les plagier ici, ni même de les traduire en français. Pour mémoire, l'objectif de mes articles n'est pas d'être un cours de maths, c'est seulement de partager avec vous le parcours que j'ai suivi pour atteindre mon objectif: Comprendre enfin un peu mieux la physique quantique, sans prétendre atteindre le niveau d'un ingénieur ou d'un chercheur, mais en voyageant quand même un peu au delà des vulgarisations "sans mathématiques" habituelles.

Ça vous intéresse aussi ? Alors suivez-moi !

Le plan de cet article

  • Je vais commencer par un peu d'histoire des sciences car ça m'aidera à mieux comprendre l'importance que va avoir ce sujet dans mon itinéraire.
  • Je reprendrai ensuite la structure algébrique que j'avais inventée pour le deuxième article de cette série et j'observerai de plus près quelques-unes de ses propriétés.
  • Je pourrai alors accéder au concept de groupe, qui jouera un rôle important dans la suite de mes aventures.

Un peu d'histoire des sciences

«Nulle chose n'est compréhensible que par son histoire» disait Pierre Teilhard de Chardin.

Je ne suis pas certain que ce soit tout à fait vrai en mathématiques, car on peut sans doute comprendre l'algèbre générale sans connaître son histoire, mais un peu d'histoire devrait au moins m'aider à vérifier l'utilité de cette étude par rapport à mes objectifs et conforter ainsi ma motivation.

Gauss, Galois et Riemann

Le passage de l'algèbre élémentaire à l'algèbre générale a demandé beaucoup de temps et d'efforts aux mathématiciens. Même si l'idée de base était au fond assez simple (généraliser ce l'arithmétique et l'algèbre élémentaire à d'autres choses que des nombres), il a fallu plus d'un siècle pour que tout ça finisse par s'organiser de manière vraiment cohérente. On considère habituellement que l'algèbre générale commence avec les travaux réalisés par Gauss sur l'arithmétique modulaire vers 1801, par ceux de Galois sur les groupes vers 1830 et par ceux de Riemann sur la géométrie non-euclidienne vers 1854. Les recherches à son sujet continuent encore de nos jours.

Or il se trouve que ces trois "nouveaux" domaines des mathématiques, entre autres, jouent un rôle capital dans la physique moderne. Il me semble donc impossible d'aller au-delà des intuitions habituelles de la vulgarisation "classique" en physique sans apprendre à manier au moins un peu ces outils des "maths modernes" (comme on disait dans ma jeunesse). Sans eux, impossible d'aller au-delà de la mécanique newtonienne en manipulant des vecteurs dans des espaces à plus de trois dimensions. Impossible aussi de comprendre la relativité générale au-delà des habituelles analogies (parfaitement euclidiennes) des boules de pétanque qui se déplacent sur une membrane élastique.

Pour mon projet, qui est justement d'aller faire du tourisme un peu au-delà des vulgarisations habituelles, impossible du coup de me lancer sans un minimum de préparation en algèbre générale.

Retour sur le «magma des fruits»

Vous vous souvenez peut-être de la première «structure algébrique» que j'avais inventée pour les besoins de mon premier article ? J'avais pris volontairement quelque chose d'extrêmement simple[1].

Mon premier «magma»
  • Pour faire une structure algébrique, il me fallait un ensemble. J'avais pris un ensemble de 3 fruits.
  • Il me fallait aussi une loi de composition interne. J'avais décide qu'entre deux fruits, je prendrai mon préféré.

Ça avait donné ceci:

Cet isomorphisme permet de simplifier l'écriture

J'avais ensuite inventé un isomorphisme qui me permettait de «réécrire» tout ça d'une manière qui fonctionne exactement pareil, mais qui soit plus facile à manipuler. Pour ça, j'avais tout simplement «codé» en remplaçant les icônes de fruits par des chiffres.

Ce qui avait donné ceci:

Les deux tableaux sont différents, car évidemment, un fruit n'est pas un chiffre, mais ils fonctionnent exactement pareil, chacun pouvant être vu comme une représentation de l'autre. L'avantage du tableau avec des chiffres, c'est que ça va simplifier l'écriture de mes réflexions suivantes.

Commutativité

Ainsi, j'observe par exemple que ma loi «choisir le fruit que je préfère» est commutative. Qu'on me présente une pomme de la main gauche et une banane de la main droite ou le contraire ne changera rien à mon choix. Dans les deux cas, je choisirai la pomme indiqué dans le tableau.

Ce que je peux écrire:

poire ⚹ banane = poire ⚹ banane

ou en transposant dans l'autre structure algébrique (le magma avec les chiffres):

2★1=2★1

Ce qui est nettement plus compact et facile à visualiser, mais qui nécessite de bien me souvenir que ma loi notée "★" n'est pas une opération habituelle sur les nombres habituels. J'utilise ici les mêmes notations et parfois les mêmes règles qu'en arithmétique, mais pour décrire autre chose que des manipulations de nombres. Et c'est d'ailleurs bien tout l'intérêt de l'algèbre générale.

Associativité

Ce premier magma avait une autre caractéristique, qui n'apparaît pas au premier coup d'œil, c'est que sa loi est associative. Qu'est-ce que ça signifie ? Ça signifie que si je cumule trois opérations, je peux enlever les parenthèses. Regardons cela de plus près (dans le deuxième magma, avec les chiffres, parce que ce sera plus facile à écrire, mais je pense qu'à ce stade, vous avez compris que ça donnera le même résultat pour les fruits).

Cette propriété très importante s'écrit ainsi: (a★b)★c = a★(b★c)

Essayons de la vérifier avec un exemple pris dans mon tableau :

Est-ce que par exemple, (0★1)★2 ≟ 0★(1★2)

Voyons voir en prenant le tableau et en faisant en premier les opérations qui sont dans les parenthèses comme on me l'a appris au collège. Ça donne :

(0)★2 ≟ 0★(2)

Il est clair que le résultat sera le même, à savoir 0.

Est-ce que cette propriété sera vraie pour toutes les combinaisons possibles ? Je vous laisse le vérifier. Il y a pour ce faire deux méthodes:

  • Une méthode brute: en essayant toutes les possibilités une par une
  • Une autre plus astucieuse: en réfléchissant à la logique de l'opération sous-jacente et qui est «le fruit que je préfère». [2]

Cette propriété, l'associativité, n'est pas nécessairement vraie pour toutes les opérations, sur tous les ensembles. Ainsi il existe des nombres très particuliers, appelés les «octonions», dont la multiplication n'est ni commutative (ce qui complique déjà un peu les choses) ni même associative. Mais chaque chose en son temps.

Élément neutre

Le magma que j'ai inventé a une autre particularité intéressante, c'est qu'il a un élément neutre. Qu'est-ce qu'un élément neutre ? C'est un élément qui, dans la table de la loi de composition, laisse toujours gagner les autres. Dans ma loi ★, c'est le "1" qui laisse toujours gagner les autres. Et dans la loi ⚹, c'est la banane. Il est très facile de le vérifier dans les tableaux, puisque leur ligne et leur colonne reprennent exactement celles des bords du tableau. En langage mathématique, on va écrire cette propriété ainsi:

e⚹x = x⚹e = x

Ou "e" représente l'élément neutre (ici, c'est la banane) et x représente n'importe quel autre élément.

Montée en grade

Mon magma des fruits et son isomorphe le magma des chiffres ont donc des propriétés particulières qui vont leur permettre de «monter en grade» dans la hiérarchie des structures algébriques. Je ne l'ai pas fait exprès, ça découle simplement des propriétés de la loi de composition interne que j'avais choisie et qui était, je le rappelle : «le fruit (respectivement le chiffre) que je préfère».

Mon magma est :

  • associatif
  • muni d'un élément neutre

ce qui lui permet d'obtenir le grade déjà très honorable de «monoïde» !

Il est de plus:

  • commutatif

C'est donc un monoïde commutatif, ce qui n'est pas si mal dans la hiérarchie des structures algébriques. En fait, il ne lui manque même qu'une seule propriété pour atteindre le sommet de sa hiérarchie, le top du top pour un petit ensemble muni d'une seule loi de composition, c'est à dire le grade très prestigieux de «groupe commutatif». C'est que nous allons voir maintenant.

Petit toilettage cosmétique

Pour commencer, je vais changer un peu mon codage. J'ai le droit n'est-ce pas ? Ça ne changera rien sur le fond, je vais juste remplacer des étiquettes choisies un peu au hasard par d'autres étiquettes tout aussi arbitraires, mais qui seront plus pratiques.

J'avais dans mon isomorphisme établi la correspondance (l'application) suivante, que j'avais appelée "f":

  • pomme -> 2
  • poire -> 0
  • banane -> 1

Mais c'était totalement arbitraire et j'aurais parfaitement pu choisir d'autres chiffres pour représenter mes pommes, poires et bananes.

C'est ce que je vais faire maintenant, et pour une raison qui apparaîtra très vite, en modifiant ces correspondances. Je vais maintenant appeler la nouvelle correspondance "g", et elle va s'établir ainsi:

  • pomme -> -1
  • poire -> 1
  • banane -> 0

Je vais aussi par la même occasion, pour que tout soit bien clair, remplacer ma loi "★" par une autre que j'appellerai "☆" et je vais en profiter pour organiser autrement les colonnes afin de mettre mes étiquettes "-1", "0" et "1" dans le même ordre que les nombres habituels correspondants.

Que tout soit bien clair :

Seule la présentation a changé!

En faisant tout ceci, je n'ai en fait absolument rien changé au fonctionnement de mes structures. J'ai juste changé les symboles, qui ne sont que des étiquettes, ainsi que l'ordre des colonnes, qui n'est que de la présentation. Et surtout, mes chiffres -1, 0 et 1 ne sont que des chiffres utilisés comme étiquettes. Ce ne sont absolument pas des nombres. "0", par exemple, signifie "banane". Ce n'est pas un nombre. J'aurais pu utiliser des lettres sans que ça change quoi que ce soit. Si j'ai utilisé des chiffres, c'est parce que j'essaye de faire de l'algèbre et que l'algèbre, comme nous l'avons dit, c'est l'art d'essayer de généraliser ce qu'on fait avec des nombres avec des choses qui ne sont pas du tout des nombres[3].

Ça donne ceci:

Cosmétique, mais instructif

C'est la même situation, présentée autrement. Je préfère toujours la poire (représentée par le chiffre "1"), la pomme (représentée par ""-1") vient en second et la banane (représentée par "0") vient en dernier, je ne la prends que si on ne me laisse pas le choix.

Cette nouvelle présentation permet de mieux voir certaines choses:

  • L'opération est toujours commutative. Ce qui se voit pas la symétrie du tableau par rapport à sa diagonale principale. Mais c'était déjà le cas dans le tableau précédent.
  • L'élément neutre (celui qui «laisse toujours gagner l'autre») est désormais représenté par le chiffre "0", ce qui peut évoquer les résultats de l'addition des nombres ordinaires, dans laquelle le nombre 0 est l'élément neutre.
  • Pourtant, ma loi de préférence des fruits ne fonctionne pas du tout comme l'addition des nombres. En effet, il y a quatre différences:
    1. -1☆-1=-1 alors qu'avec l'addition des nombres, on aurait -1 + -1 = -2
    2. 1☆1=1 alors qu'avec des nombres, on aurait 1 + 1 = 2
    3. -1☆1=1 alors qu'avec des nombres, on aurait -1 + 1 = 0
    4. 1☆-1=1 alors qu'avec des nombres, on aurait 1 + -1 = 0

D'où viennent ces différences ? Que signifient-elles ? Pourrais-je les corriger ? Répondre à ces questions va me permettre d'apercevoir enfin l'un des premiers sommets de mon voyage.

Première différence

Les différences numéro 1 et 2 sont de la même nature. Dans notre tableau ou les nombres représentent en fait des fruits, on a les opérations suivantes :

-2 et 2 ne font pas partie des éléments de mon ensemble de signes!
  1. -1☆-1=-1, sachant que -1 représente une pomme, signifie que si on me demande de choisir entre une pomme et une pomme, je choisirai une pomme.
  2. De même, 1☆1=1 signifie que si on me demande de choisir entre une poire et une poire, je choisirai une poire.

Que se passerait-il si je décidais de faire ressembler ma loi de composition interne "☆" à l'addition des nombres ? Il faudrait que j'écrive -1☆-1=-2 et 1☆1=2. Mais cela, je ne peux pas le faire car -2 et 2 ne représentent aucun des fruits de mon exemple de fruits. Ils ne font pas partie non plus de mon ensemble de 3 chiffres[4]. Si je faisais ceci, ma loi ne serait plus une loi de composition interne, mais une loi de composition externe. Ça ne peut en aucun cas correspondre à une opération de choix entre des des éléments de l'ensemble.

Pas plus que "cerises" et "Raspoutine" ne font partie de mon ensemble de fruits !

Certes rien ne m'empêcherait d'inventer une autre loi, par exemple une règle de jeu dans laquelle si on me dit «poire et poire», je dois répondre «Raspoutine», «Raspoutine» étant une sorte de Joker ne faisant évidemment pas partie des fruits possibles dans le jeu.

Je pourrais faire ça, mais ça ne serait plus du tout le même jeu, plus du tout la même "loi". Et surtout, mathématiquement, ça ne serait plus du tout la même structure algébrique non plus, puisque j'aurais remplacé une loi de composition interne (qui doit rester dans l'ensemble de départ) par une loi de composition externe (qui peut s'en affranchir).

Est-ce à dire que l'ensemble de tous les nombres entiers muni de l'addition aurait le même problème. Et bien non !

Pourquoi non ???

Rajouter des colonnes ne résoudrait pas le problème.

Parce que l'ensemble des nombres entiers a une caractéristique importante que n'a pas mon ensemble de fruits: C'est un ensemble infini. Quand je prends les nombres de mon tableau et que j'écris 1-1=2, certes j'écris le nombre 2 qui n'était pas dans mon tableau de départ, mais ce nombre 2 est toujours un nombre entier. Si je veux le prendre en compte, il me suffit de rajouter une ligne et une colonne à son nom dans mon tableau et le tour est joué... ou presque car si je fais ça, je fais voir apparaître deux "3" et un même un "4" dans mon tableau, ce qui m'obligera à rajouter encore deux autres lignes et des autres colonnes, et ainsi de suite.

Bref, je peux bien considérer que ma loi "+" est une loi de composition interne à l'ensemble des nombres entiers mais à condition de prendre en compte tous les nombres entiers, et il y en a une infinité.

J'aurai l'occasion de revenir sur cette différence importante entre les structures algébriques fondées sur des ensembles finis et celles fondées sur des ensembles infinis. Notamment quand je m'attaquerai enfin pour de vrai à la physique quantique. En effet, je vais devoir manipuler des ensembles finis d'états et des ensembles infinis d'états et ça ne fonctionnera pas tout à fait pareil.

Seconde différence

Les différences numéro 3 et 4 sont d'une nature complètement différente. Dans notre tableau ou les nombres représentent en fait des fruits, on a les opérations suivantes :

  1. -1☆1=1 alors qu'avec des nombres, on aurait -1 + 1 = 0
  2. 1☆-1=1 alors qu'avec des nombres, on aurait 1 + -1 = 0

Dans le tableau des fruits, la situation -1☆1=1 correspond au cas où on me présente une pomme et une poire et où je réponds que je préfère la poire. L'opération est évidemment commutative, c'est à dire que si on me présente une poire et une pomme, je réponds la même chose.

Que signifieraient l'écriture -1☆1=0 ? Un coup d'œil rapide au tableau des fruits donne la réponse: Ça signifierait que si on me propose une pomme et une poire, je réponds «Je préfère la banane». Si je fais ça, je suis probablement un peu caractériel, mais ça ne me fait pas sortir de mon ensemble de départ. Ma loi ainsi modifiée reste une loi de composition interne.

Mieux encore: Si j'observe que "banane" (respectivement "0") était l'élément neutre[5] de ma loi de préférence des fruits (notée "☆"). La combinaison de -1 et de 1, ou respectivement de pomme et de poire, donne cet élément neutre. C'est une propriété extrêmement importante en algèbre générale:

Lorsque deux éléments donnent l'élément neutre en se combinant, ont dit qu'ils sont symétriques.

C'est une propriété tellement importante qu'on va l'écrire en langage mathématique:

Si a∗b = b*a = e , alors les éléments a et b sont dits symétriques[6].

Et si on a noté la loi de composition interne par le signe "+" par analogie avec l'addition des nombres entiers relatifs, on utilisera un autre mot que le mot "symétrique" et on dira qu'ils sont "opposés". C'est la même chose. Simplement, si on dit qu'ils sont opposés, ça signifie qu'on parle d'une loi qu'on a «notée additivement», autrement dit et plus simplement, qu'on a utilisé le signe "+".

Après ces ultimes détours, nous voici enfin prêts à transformer utilement notre règle du jeu ☆ pour que notre modeste magma de fruits du début, après être devenu un monoïde commutatif, puisse enfin atteindre le sublime statut de groupe commutatif !

Première tentative en direction des groupes commutatifs

Résumons-nous:

  • J'essaye de faire de l'algèbre générale, c'est à dire de manipuler des choses qui ne sont pas des nombres de la même manière (ou en tout cas d'une manière aussi proche que possible) que si c'était des nombres.
  • J'avais une «règle du jeu» avec mon ensemble de trois fruits qui m'a permis d'imiter assez bien ce qui se passe avec l'addition des nombres -1, 0 et 1
  • Je ne peux toutefois pas imiter les opérations 1+1 et (-1)+(-1) parce que ça me conduirait à des nombres qui ne font pas partie de mes trois nombres de départ. Je laisse tomber ça pour l'instant.
  • En revanche, je peux imiter le fait que le nombre -1 soit l'opposé du nombre 1, mais pour ça, il va me falloir changer un peu ma règle du jeu.
  • Si je réussis à faire tout ça, j'aurai :
    • Un ensemble d'éléments
    • Une loi de composition interne de ces éléments
    • Cette loi sera associative
    • Elle aura un élément neutre
    • Chaque élément aura un symétrique (l'élément neutre étant son propre symétrique).
  • Avec toutes ces propriétés, la structure algébrique constituée de mon ensemble et de sa loi pourra légitimement porter le nom de groupe.
  • Et comme en plus ma loi est de plus commutative, ma structure algébrique sera un groupe commutatif, ce qui est la très grande classe et le nec plus ultra pour les structures algébriques munies d'une seule loi.
  • Enfin, histoire de préciser encore un peu plus les choses, mon groupe sera un groupe commutatif fini, car je sais qu'il existe aussi des groupes commutatifs infinis.

Bon, bein «Yapuka» ?

Prêts ???

Tadaaaaaaa ! (Ou pas!)

Première tentative (hélas échouée) de construction d'un groupe

Ma «règle du jeu», que je voudrais maintenant pouvoir noter "+" devient celle-ci:

  1. Si on me dit «pomme et pomme», je réponds «pomme» (comme avant).
  2. Si on me dit «banane» et n'importe quoi d'autre, je réponds ce n'importe quoi d'autre. (La banane est mon élément neutre, comme avant)
  3. Si on me dit «poire et poire», je réponds «poire» (comme avant).
  4. Nouveau: Si on me dit «pomme et poire» ou «poire et pomme», je réponds «banane». Oui, c'est un peu bizarre mais je fais cette modification pour que les éléments «pomme» et «poire» deviennent symétriques, c'est à dire que leur composition donne désormais l'élément neutre, qui est «banane».

Je vérifie d'un simple coup d'œil que ma loi est toujours commutative. C'est bon ![7].

En revanche, comme on n'est jamais assez prudents, il me faut maintenant vérifier si la modification que je viens de faire pour rendre symétriques les deux éléments autres que l'élément neutre, n'aurait pas abîmé autre chose. Qu'en est-il de l'associativité ? C'est important à vérifier, car si jamais j'ai cassé l'associativité, non seulement ce ne sera pas un groupe, mais de plus je redescendrais tout en bas de la hiérarchie des structures algébriques.

Et bien justement !

Pour ne pas faire trop durer le suspens, je vais aller droit au problème.

J'ai modifié la case en haut à droite, je vais donc vérifier l'associativité dans un cas qui la met en jeu. est-ce que:

(pomme★pomme)★poire est toujours égal à pomme★(pomme★poire) ?

Vérifions en faisant les opérations à l'intérieur des parenthèses, cela donne :

(pomme)★poire est-il égal à pomme★(banane) ?

La réponse est désormais, à la suite des modifications que je viens de faire, «non»!

Et c'est une vraie catastrophe! Ma structure algébrique n'est plus associative. Elle ne peut donc pas devenir un groupe. Cette tentative se termine par un échec. Fabriquer un groupe est plus difficile que ce je croyais.

Mais dois-je abandonner ? Peut-être existe-t-il une autre solution au problème ?

Oui, il en existe une, une seule, et c'est ce que je vais découvrir dans l'article suivant.

Notes, compléments et références

  1. Est-ce que j'aurais pu inventer une structure algébrique encore plus simple ? La réponse est "oui". J'aurais pu faire un magma à partir d'un ensemble de seulement deux fruits, ou même d'un seul fruit. Mais ça n'aurait pas été très intéressant comme vous pouvez le vérifier facilement en essayant vous-même.
  2. La réponse devient intuitivement évidente si à la place de la logique «le fruit que je préfère» je mets une autre logique «le fruit le plus lourd». Nous savons tous intuitivement et après avoir manipulé énormément d'objets différents dans notre vie depuis la petite enfance, que quelque soit l'ordre dans lequel nous faisons les comparaisons, celui qui gagnera à la fin sera le plus lourd. Ma loi ⚹ et son homologue la loi ★ sont donc bien associatives.
  3. Et en tout cas pas des nombres "ordinaires"
  4. OK, si je veux être plus rigoureux, -1 n'est pas un chiffre, mais un signe moins suivi du chiffre 1. Mais quoi qu'il en soit, ici "-1" n'est pas un nombre. C'est juste une étiquette qui porte un nombre mais ce n'est pas un nombre. Désolé si j'insiste aussi lourdement, mais c'est l'essence même de l'algèbre générale: On manipule des choses qui fonctionnent plus ou moins comme les nombres mais qui n'en sont pas.
  5. Souvenons-nous, l'élément neutre est «celui qui laisse toujours gagner les autres.
  6. Pour être un peu plus complets, il existe aussi des notions plus précises de "symétriques à droite" et "à gauche", mais dans le cas d'un groupe, la règle dit seulement "symétriques", ce qui signifie symétriques à droite comme à gauche, autrement dit que la composition des symétriques est commutative.
  7. Ça se constate facilement sur la tableau, qui est symétrique par rapport à sa diagonale principale, celle qui part en haut à gauche et aboutit en bas à droite. En fait, vous pouvez essayer si ça vous amuse, mais vous ne parviendrez pas à faire qu'elle ne soit pas commutative. Pourquoi? Parce qu'avec seulement trois éléments, une fois qu'on a rempli les cases de manière à respecter la commutativité de l'élément neutre et celle des éléments symétriques, il ne reste plus de cases libres pour violer ailleurs la règle de commutativité.