Pourquoi... je m'intéresse à l'algèbre ?

De Vents & Jardins
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C'est une question que doivent se poser beaucoup de collégiens et ils ont bien raison!

(Une version vidéo de cet article, plus vivante et avec beaucoup plus d'explications encore est en préparation...)

Mais au fait, c'est quoi au juste, l'algèbre?

J'ai trouvé cette définition qui n'est sans doute pas parfaitement rigoureuse, mais qui me plait bien, parce que je trouve qu'elle cible l'idée essentielle:

L'algèbre généralise les règles élaborées en arithmétique à d’autres ensembles d’objets mathématiques.

Par exemple, l'algèbre permet de généraliser les règles de l'addition des nombres entiers à d'autres choses que des nombres entiers. On peut ainsi additionner des fractions, ou des déplacements, ou des ondes, et bien d'autres choses encore.

Les arguments habituels et/ou implicites

Nos professeurs et ceux qui rédigent les programmes officiels ont plusieurs motifs pour nous imposer l'algèbre, par exemple:

  1. Ca permet de simplifier des calculs
  2. C'est formateur, car en faisant de l'algèbre, on prend des habitudes de concentration, d'organisation et raisonnement rigoureux

A cela, le collégien moyen, mais aussi l'adulte dans son otium, pourraient objecter:

  1. On s'en fiche de simplifier les calculs, yaka les confier à un ordinateur
  2. On peut se former à la concentration, à l'organisation et au raisonnement rigoureux sans faire d'algèbre

Et tout ça c'est bien vrai. Aurais-je alors une autre raison, à mon âge, de m'intéresser à l'algèbre??? Au point de rédiger cet article???

Bein oui.

La voici. Je vais essayer de l'exposer à travers un exemple des plus simples: L'addition et le fait qu'il s'agisse d'une opération commutative.

Un exemple d'algèbre avec des nombres entiers

Un exemple simplissime...

On apprend dans les petites classes que l'addition de nombres entiers est une opération commutative. Ce qui signifie par exemple que:

3+4 = 4+3

Bon OK, 3+4 = 4+3, ça marche pour les nombres 3 et 4, mais est-ce que ça marche pour tous les nombres entiers ?

Voyons voir:

3+5 = 5+3 ça marche

3+6 = 6+3 ça marche encore

3+7 = 7+3 ça marche encore

...et pourtant...

Mais est-ce que 3 + 256848726659 = 256848726659 + 3 ???

et est-ce que 356425584366 + 256848726659 = 256848726659 + 356425584366 ???

Et est-ce que je peux être absolument certain que ça marchera toujours ???

Bon OK, je peux me dire que puisque ça a toujours marché avec tous les nombres entiers que j'ai essayé, ça a toutes les chances de marcher aussi avec tous ceux que je n'ai jamais essayés.

Mais «avoir toutes les chances de marcher», ça ne suffit pas. «Avoir toutes les chances de marcher», c'est ce que les mathématiciens appellent, dans leur jargon, une conjecture. Une conjecture, c'est une affirmation qui est sûrement vraie, mais qui n'est pas encore complètement prouvée.

Alors, puis-je prouver que, quels que soient les nombres que j'appelle a et b, a plus b donnera toujours le même résultat que b plus a ?

Pour le dire en langage plus mathématique, puis-je démontrer que pour tous les nombres entiers a et b, a+b égale toujours b+a ?

14+12=12+14

En écriture mathématique [1], ça donne:

∀ a,b ∈ ℕ : a+b = b+a [2]

Alors, est-ce que je peux le prouver ?

Bein, la réponse est non, en fait! Moi, perso, je serais bien incapable de le faire.

Bien sûr, je pourrais toujours dessiner un paquet de 14 billes rouges et un autre paquet de 12 billes bleues et dire que l'ordre dans lequel je compte les billes ne change rien au nombre total de billes. Il faudrait ensuite que j'ajoute que ça restera vrai quel que soit le nombre de billes. Mais ça, justement, comment faire pour le prouver?

Du coup, la vraie preuve, je serais bien incapable de la donner. Je me contente donc de faire confiance aux mathématiciens quand ils affirment qu'ils savent le faire [3]. Et je sais que leur preuve est consultable un peu partout, même si elle est assez difficile à comprendre et encore plus difficile à vérifier[4].

Conclusion provisoire

J'arrive donc ici à une première conclusion. Faire de l'algèbre m'a permis de comprendre deux choses importantes:

  • Les choses que je crois évidentes, si je les regarde de très près, ne sont pas si évidentes que ça.
  • Les mathématiciens adorent couper les cheveux en quatre.

Mais si je fais de l'algèbre c'est pas uniquement pour le plaisir de couper les cheveux en quatre. C'est ce que nous allons voir maintenant avec un autre exemple.

Un exemple avec des mouvements

Les maths, ça ne sert pas uniquement à ajouter des nombres entiers. Ca sert à plein d'autres choses. On peut par exemple décider d'ajouter des mouvements.

Voyons voir:

Déplacements à plat:
3a+2d = 2d+3a

Si j'ajoute un mouvement de 3 pas vers l'avant à un mouvement de 2 pas vers la droite, est-ce que j'arriverai au même endroit que si je fais d'abord 2 pas vers la droite puis 3 pas vers l'avant ?

Je pourrais noter cette addition ainsi, en utilisant la lettre "d" pour désigner les pas vers la droite et la lettre "a" pour désigner les pas vers l'avant. Ca donnerait:

3a+2d = 2d+3a

Bon, vous me voyez venir? Vous pensez que ça n'a rien à voir avec l'addition des nombres?

Vous avez raison! J'ai triché! Pourquoi?

Parce qu'en effet j'ai utilisé les mêmes symboles que tout à l'heure pour dire des choses complètement différentes:

  • Les mouvements ne sont pas des nombres entiers, notamment parce qu'ils ont une direction.
  • Le signe "+" signifie maintenant autre chose, à savoir le premier mouvement suivi du second.
  • Le signe "=" signifie également autre chose, à savoir que j'arrive au même endroit.

Et c'est justement là le grand secret de l'algèbre: En utilisant les mêmes signes pour désigner des choses complètement différentes, je peux quand même faire les mêmes raisonnements et les mêmes "calculs".

Et ça marche ! L'addition des déplacements n'a rien à voir avec celle des nombres entiers, mais elle fonctionne exactement de la même manière:

432d + 234a = 234a + 432d

C'est cool, vous pouvez vérifier, ça marche toujours !

... ou pas !

Où les choses se compliquent un poil

Les MPI (Mathématiciens, Physiciens et Ingénieurs) aiment bien pousser les choses dans leurs retranchements.

Déplacements sur la sphère: a+b ≠ b+a

Alors question:

«Imaginons que je sois à la surface de la terre, quelque part sur l'équateur, face au Nord, et que je fasse 5 millions de pas vers la droite (donc vers l'Est) puis 5 millions de pas vers l'avant (donc vers le Nord). Est-ce que j'arriverai au même endroit que si je fais l'inverse?»

La réponse est non. Avec 5 millions de pas, ça ne marche plus du tout! A la surface de la Terre, l'addition des déplacements n'est plus tout à fait commutative. Ca marche encore à peu près pour les petites distances, mais ça ne marche plus du tout pour les grandes.

La raison en est que la Terre est ronde et pas plate.

Observons ça de plus près. Si un pas fait environ un mètre, cinq millions de pas, ça fait environ cinq mille kilomètres. Prenons un globe terrestre. Il est facile de voir que les deux déplacement n'arrivent pas au même endroit. Ce qui pourrait s'écrire, avec mon système de notation: a+b ≠ b+a

Tiens, d'ailleurs, serait-je capable de calculer approximativement la distance qui sépare les deux points d'arrivée? (Solution en bas de page)

Récapitulons: On peut additionner les pas de la même manière qu'on additionne les nombres entiers, mais uniquement sur des surfaces planes. D'ailleurs, c'est comme ça que tous les marins au long cours et pilotes d'avions, sans jamais aller dans l'espace, peuvent vérifier tous les jours que la Terre n'est pas plate!

Autres conclusions

Ce deuxième exemple m'a permis de voir deux autres intérêts à l'étude de l'algèbre:

  • Elle permet de généraliser des méthodes de calcul à d'autres sortes de nombres que les nombres entiers, et même à des choses très différentes des nombres, comme des mouvements.
  • Elle donne aussi des méthodes qui permettent d'étudier en profondeur des choses très différentes des nombres. Ici, la question des surfaces planes ou courbes.

Et une dernière rasade d'autres exemples pour la route

On peut décider de donner le nom d'addition à plein d'autres opérations, réalisées avec des "objets" très différents. En physique, par exemple, il arrive très souvent qu'on additionne:

  • des vitesses
  • des distances
  • des durées
  • des chemins
  • des mouvements de rotation
  • des ondes

et bien d'autres choses encore.

Dans certains cas, ces additions seront commutatives. Et alors c'est très pratique, parce que ça signifie qu'on peut faire le même genre de calculs avec ces opérations et ces objets que ceux qu'on fait avec les nombres ordinaires[5].

Dans d'autres cas, ces additions ne seront pas commutatives. Et souvent, ça rend les choses encore plus intéressantes, car il faut comprendre ce qui les empêche d'être commutatives. Il y a par exemple certains effets contre-intuitifs de la physique quantique qui sont liés à des opérations non-commutatives.

Tiens, une petite dernière pour la route.
Si je définis l'addition des mouvements sur un «Rubik's cube» comme pour les mouvements de tout à l'heure. Est-ce que cette "addition" est commutative?
Réfléchissons ensemble:
- Est-ce que deux quarts de tours vers la droite de la face avant, suivis de trois quarts de tours vers la gauche de cette même face avant, aboutissent au même résultat que le contraire ? Je pourrais noter ça, par exemple «2da+3ga=3ga+2da». Est-ce vrai ?
- Et est-ce que deux quarts de tours vers la droite de la face avant, suivis de trois quarts de tours vers la gauche de la face supérieure, aboutissent au même résultat que le contraire ? Autrement dit est-ce que, dans le monde merveilleux des Rubik Cubes, «2da+3gs=3gs+2da» ?
(Solution en bas de page)

Bienvenue dans le monde étourdissant de l'algèbre ! :-D

Mes réponses (souvent approximatives) à mes propres questions

Sur la distance entre les deux points d'arrivée

Ce calcul est réalisable par des élèves de 4ème. Il ne présente aucune difficulté particulière, il suffit de ne pas se laisser impressionner et de prendre son temps à chaque étape.

Raisonnons en physiciens, c'est à dire en faisant de grosses approximations (souvenez-vous que, pour les physiciens, la vache est une sphère!)

Les déplacements vers le Nord se rapprochent.

Imaginons pour simplifier les calculs que la Terre soit une sphère parfaite[6] de 6366 km de rayon (au lieu de 6371 km en moyenne, soit une erreur de 0.08%).

Du coup, ça lui fait une circonférence de pile 40000 km. Ce n'est pas un hasard si ça tombe rond, le km a été défini et mesuré en fonction des dimensions de la Terre.

5000 km, c'est 1/8 de 40000 km. Bein oui, je l'avais fait exprès de prendre 5000 km pour mon exemple!

Et 1/8 de 360°, ça fait 45°. Oui, je l'avais fait exprès aussi. :-D

Donc 5000 km vers l'Est, sur l'équateur, ça représente 45° de latitude. Et 5000 km vers le Nord, ça représente aussi 45° de longitude.

Alors d'où vient la différence ?

Elle vient du fait que si les déplacements vers l'Est restent parallèles [7], les déplacements vers le Nord, eux, se rapprochent[8].

Ce qu'il nous faut calculer, c'est donc de combien les voyageurs se sont rapprochés en voyageant vers le Nord.

Voyons voir, un déplacement de 45° le long du 45ème parallèle, ça fait combien de km? A l'équateur, ça fait 5000 km, je l'ai vu. Au pôle Nord, ça ne voudrait plus rien dire, mais juste à côté du Pôle Nord, je pourrais parcourir 45° de latitude en quelques pas. Alors un déplacement de 45° le long du 45ème parallèle, ça fait combien de kilomètres ?

Pour le calculer, on n'aura même pas besoin de trigonométrie (bein oui, là aussi, je l'ai fait exprès!), seulement du bon vieux théorème de Pythagore et d'une règle de trois. C'est à la portée d'un élève de 4ème. C'est parti!

Résolution étape 1

Commençons par calculer la longueur totale du 45ème parallèle:

Pour cela, je calcule la distance que j'appelle "a" et qui sépare le 45ème parallèle de l'axe de la Terre.

Comme les angles sont respectivement de 45°, 45° et 90°[9], les deux côtés adjacents à l'angle droite sont égaux[10] et l'hypothénuse est égale au rayon (que nous avons un peu modifié pour simplifier nos calculs) de la Terre, soit 6366 km.

On a donc grâce à notre bon vieux Pythagore: r²=a²+b² et comme ici a=b, du coup, r²=a²+b²=a²+a²=2a².

Donc a²=½r².

Arrivés, ici, les élèves de 3ème peuvent (grâce à l'algèbre!) continuer à améliorer l'écriture des formules pour les rendre plus jolies et fournir une très belle expression qui exprimera directement la valeur de a[11]. Nous on peut aussi se se la jouer ingénieurs [12] et prendre directement notre calculette. Ca donne pour moi:

a = √(½r²) = √(6366²/2) = √(20262978) ≈ 4501 km

et pour les élèves de troisième:

a = 1/√2 r ≈ 1/1.414 r ≈ 4502 km [13].

Munis de cette valeur "a", qui représente la distance entre le 45ème parallèle et l'axe de la Terre, autrement dit du rayon du 45ème parallèle, nous pouvons calculer la longueur totale du 45ème parallèle, je l'appelle "C", comme "circonférence".

C = 2πa ≈ 2 x 3.1416 x 4501 km ≈ 28281 km [14]

Résolution étape 2

Maintenant, nous pouvons enfin calculer la longueur que représente un parcours de 45° le long du 45ème parallèle. Comme tout à l'heure, 45° représentent un huitième du tour complet. La longueur que nous cherchons, celle qui sépare les deux extrémités Nord des mouvements notés "b", est donc:

28281 km / 8 ≈ 3535 km

et comme :

5000 km - 3535 km = 1465 km

Ca signifie que le parcours «Nord puis Est» nous amène 1465 km plus à l'Est que le parcours «Est puis Nord» !. On voit qu'un navigateur ou un pilote de ligne ne peut pas se permettre de négliger la rotondité de la Terre !

Une dernière petite précision pour finir cet exercice:

Les physiciens, et pour une fois ils seront d'accord avec les ingénieurs, aiment bien faire les calculs numériques le plus tard possible. Pourquoi? Je vois deux raisons principales:

  1. Chaque fois qu'on a fait un calcul numérique, on a fait une petite approximation et qu'à la fin toutes ces petites approximations finissent parfois par s'accumuler. Si je fais tous les calculs intermédiaires avec des lettres et le calcul numérique seulement à la fin, je trouve une différence 1464,6 km. Et si je refais ce grand calcul plus précis avec le vrai rayon moyen de la Terre (6371 km), je trouve une différence de 1461 km entre les deux parcours. L'erreur est à peu près de la même grandeur que l'approximation faite au début. C'est un phénomène qui arrive très souvent et qui est très utilisé et on en reparlera souvent en physique. Mais il faut être quand même très prudent avec ce genre d'approximations: D'abord, ça ne fonctionne que pour les toutes petites approximations mais surtout il arrive parfois aussi qu'une petite approximation au début conduise à une très grosse erreur à la fin. Pour finir, je laisse tomber les décimales dans le tout dernier calcul parce qu'elles ne signifient pas grand chose dans le monde réel: D'abord parce que la Terre n'est pas parfaitement sphérique mais aussi parce qu'il pourrait y avoir en chemin des collines ou des vagues ou des changements d'altitude de l'avion qui rallongeraient le parcours.
  2. Si on fait les calculs numériques seulement à la fin, on obtient à l'avant dernière étape une expression algébrique qui peut être un peu compliquée, mais qui a l'énorme avantage de pouvoir être réutilisée dans d'autres situations. Dans le cas présent, on pourrait par exemple obtenir une expression algébrique très générale qui nous permettrait de faire les calculs avec des déplacements différents, ou à la surface d'une autre planète que la Terre.

Sur le Rubiks Cube

Tant qu'on manipule une seule face, aucun problème, ça reste commutatif. Mais dès qu'on mélange des manipulations de faces différentes, en général, ça ne l'est plus. Il suffit de faire l'expérience avec un vrai Rubik's Cube pour le vérifier.

A noter que dans les vraies notations des maths du Rubik's Cube (car c'est pas une blague, elles existent vraiment!), on noterait plutôt ces mouvements comme ceci: 2A3A-1=3A-12A pour le premier et 2A3S-1≠3S-12A pour le second. Mais ça reste la même idée.

Pour aller plus loin

Généralités

Algèbre du Rubik's cube

Concernant l'algèbre des mouvements du Rubik's cube, on trouve facilement sur internet des cours des complets, mais ils sont également très difficiles. Si vous connaissez quelque chose qui ressemblerait à une bonne vulgarisation du sujet, je suis preneur de l'info. J'ai trouvé cependant ceci, qui peut donner des idées à condition de ne pas s'effrayer si on ne comprend pas tout:

Ajouter des ondes

Notes, compléments et références

  1. L'avantage de l'écriture mathématique, outre sa rigueur, c'est qu'elle est internationale. Enfin, presque complètement internationale, parce qu'évidemment il y a des exceptions, sinon ce serait trop facile.
  2. Ce qui peut se lire «Pour n'importe quelle paire de nombres, que j'appelle a et b, dès lors que ces nombres appartiennent à l'ensemble des nombres entiers, il est vrai que a plus b est égale à b plus a»
  3. Ceci est un exemple intéressant de quelque chose qui se produit souvent en mathématiques, qui n'est pas assez explicité, et qui est l'une des principales causes du fait que beaucoup de gens finissent pas se croire, bien à tort "nuls en maths". Il se trouve que souvent, les choses qui semblent les plus simples et les plus évidentes sont aussi les plus difficiles à démontrer de manière rigoureuse. Pour plus de développements sur cette question, voir cet article: «Pourquoi vous vous croyez nul en maths»
  4. Voir par exemple ici: Addition dans l'arithmétique de Peano.
  5. Parce que oui, il existe aussi des nombres qui ne sont pas très "ordinaires"! Mais j'étudierai dans un autre article les différentes sortes de nombres.
  6. La Terre est en fait aplatie d'environ 1/300ème au niveau des pôles, soit une erreur de 0.3%.
  7. C'est d'ailleurs bien pour ça que ça s'appelle des parallèles !
  8. Ils se rejoindraient même complètement au bout de 10000 km, au Pôle Nord, là où le voyageur qui suivrait de chemin bleu rejoindrait le voyageur qui suivrait le chemin rouge.
  9. Je le sais car je me souviens que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Ici, il s'agit d'un triangle plat "normal" car il est tracé dans l'espace (qui est notre espace habituel, celui dans lequel on vit tous les jours) et pas à la surface de la sphère. Si je traçais des triangles sur la surface de la sphère, donc des triangles "courbés", la règle de la somme des angles ne marcherait plus.
  10. Pour des raisons évidentes de symétrie.
  11. a=1/√2 r
  12. Les physiciens aiment bien quand les expressions sont jolies. Il paraît que les ingénieurs aiment bien avoir les résultats plus rapidement, mais je ne sais pas si c'est vrai. Quant aux mathématiciens, eux, ils ne font jamais d'approximations, donc ils en auraient pour des siècles à faire les calculs, et des millénaires pour les vérifier. Du coup, ils préfèrent souvent ne pas faire du tout ce genre de calculs, qui sont trop concrets pour eux! :-D
  13. La différence vient principalement du fait que les élèves de troisième ont fait un calcul plus joli, avec d'autres arrondis. La bonne valeur est entre les deux.
  14. Disclaimer ! Amis lycéens qui passeriez par ici: Certains physiciens et ingénieurs aiment bien écrire de temps en temps les unités de mesure dans leurs calculs numériques pour se souvenir de ce qu'ils manipulent. Dans ce calcul, il y a deux nombres "sans dimension" (2 et pi) et une longueur (4501 km). En les multipliant, on trouvera un nombre de km. Cette manière de faire évite bien des erreurs et permet de vérifier ses calculs. Par exemple, si j'avais dans mon calcul un seul nombre sans dimension et deux longueurs, je serais en train de calculer une surface (une longueur en km multipliée par une longueur en km, ça donne une surface en km²) et ce serait la preuve que je me serais trompé quelque part puisque c'est une longueur que je veux calculer. Cette manière de faire s'appelle analyse dimensionnelle. Elle permet même parfois de mieux comprendre certaines lois de la nature. Mais surtout ne faites jamais ça sur votre copie de maths. Je suis ravi si ça vous permet de mieux comprendre certaines choses, mais je décline toute responsabilité si vous prenez des heures de colle à cause de ça!