Premiers pas avec les maths de la quantique

De Vents & Jardins
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Série PQT : La physique quantique en touriste
     Saison 03 : Un sudoku à l'ermitage du spin
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Rappels des saisons précédentes

Dans les deux saisons précédentes, nous avons appris à peu près tout ce qu'on peut comprendre la mécanique quantique sans faire de mathématiques. Il est temps de passer maintenant à l'étape suivante. Dans un premier temps, je voudrais résumer les connaissances déjà acquises sur lesquelles les deux prochaines saisons vont reposer.

Nous savons désormais[1]:

  • Que si nous mettons un spin[2] orienté de manière quelconque dans un détecteur vertical, ce détecteur donnera l'un des deux seuls résultats possibles:
    • Soit le résultat «+1» signifiant que le spin est désormais parfaitement aligné dans le même sens que le détecteur.
    • Soit le résultat «-1» signifiant que le spin est désormais parfaitement aligné dans le sens opposé à celui du détecteur.
    • Il n'existe aucune autre possibilité.
  • Que si le spin a déjà été détecté dans un des ces deux états bien définis et que rien ne vient le modifier, il y restera. On pourra rallumer le détecteur autant de fois qu'on voudra, le résultat sera toujours le même.
  • Qu'en revanche, si on tourne très légèrement le détecteur, le résultat ne sera plus garanti. De temps, en temps, de manière totalement aléatoire, on obtiendra le résultat inverse.
On bascule le détecteur de 90°
  • Que si après avoir détecté le spin dans un état vertical, on fait pivoter le détecteur de 90 degrés vers la droite, le spin n'est plus du tout dans un état bien défini pour cette nouvelle orientation. Le nouveau résultat a:
    • une chance sur deux d'être «+1», signifiant que le spin est sorti du détecteur aligné vers la droite.
    • et une chance sur deux d'être «-1», signifiant que le spin est sorti du détecteur aligné vers la gauche.
  • Que, si après avoir détecté le spin dans un état bien défini donné, on fait pivoter le détecteur de 180 degrés très exactement, donc dans la position exactement opposée, on obtiendra à coup sûr le résultat inverse. Si le résultat était «+1», on est certains d'obtenir le résultat «-1».

Nous pouvons tirer de tout ceci un principe général: En mécanique quantique, aucune détection ne permet de savoir dans quel état était le spin avant la détection. Le seul moyen de le savoir, c'est d'avoir fait une autre détection juste avant. En mécanique quantique, mesurer quelque chose, c'est l'obliger à prendre la valeur tirée au hasard par la mesure. Ce n'est que si on refait exactement la même mesure qu'on est certain d'obtenir le même résultat que la première fois[3]. C'est une différence considérable avec ce à quoi le monde ordinaire et «classique» nous a habitués.

Expérience <U|R>
  • Dans les saisons précédentes, nous avons aussi défini quelques conventions d'écriture:
    • |U> |D> |R> et |L> désignent des spins orientés respectivement vers le haut (Up), le bas (Down), la droite (Right) et la gauche (Left). Un crochet du type |R> s'appelle un «ket».
    • <U| <D| <R| et <L| désignent des détecteurs orientés respectivement vers le haut, le bas, la droite et la gauche. Un crochet du type <U| s'appelle un «bra».
    • Par voie de conséquence, une expression telle que <U|R> désignait jusqu'ici[4] une expérience dans laquelle un détecteur orienté vers le haut était chargé d'effectuer une mesure sur un spin initialement tourné vers la droite. Une paire de crochets du type <U|R> s'appelle un «braket».

Nous n'avons besoin de rien d'autre pour le moment, à part d'un niveau de maths de collège. Tout le reste sera expliqué ici très progressivement.

Notre méthode

La méthode que nous allons suivre dans toute cette saison 3 sera un peu inhabituelle sur le plan pédagogique.

En effet, nous allons plonger directement dans le grand bain, avec les exemples simplissimes rappelés plus haut, pour calculer des probabilités par la méthode utilisée en mécanique quantique.

Cette manière de faire va à coup sûr vous sembler dans un premier temps inutilement compliquée. En effet, nous connaissons déjà tous les résultats que nous nous attendons à trouver. Les probabilités que nous obtiendrons dans les prochains épisodes seront toujours :

  • Soit 1, c'est à dire 100%, si on est sûr d'obtenir ce résultat.
  • Soit 0 si on est certains de ne jamais l'obtenir.
  • Soit 0.5, autrement dit 1/2, autrement dit 50% si on a une chance sur deux de l'obtenir.

Mais vous l'avez compris, l'intérêt de procéder ainsi, c'est que nous allons nous entraîner, avec les cas les plus simples, à utiliser la méthode que nous utiliserons ensuite sans cesse. Ce faisant, nous n'introduirons pour le moment qu'un minimum du vocabulaire et des concepts mathématiques qui nous seront nécessaires dans la saison suivante.

Autrement dit, ce n'est que quand nous saurons déjà un peu nager que nous commencerons à décortiquer davantage les principes et les techniques qui nous permettent de nager. Pour le moment, on va commencer à nager un peu, ou pour utiliser une autre métaphore, on va se lancer dans le «sudoku» quantique que voici. Regardons le de plus près et profitons-en pour introduire un peu de vocabulaire.

PQT S03 E06 01.png

Ce tableau possède 6 colonnes. On y trouve les six orientations de base possibles pour nos spins. Ce sont les 4 que nous connaissons déjà auxquelles nous allons en ajouter deux.

  • |I> (pour "In"), désigne un spin qui rentre dans la feuille, ou qui pointe vers la cible de notre expérience.
  • |O> (pour "Out"), désigne évidemment un spin qui pointe dans la direction opposée, donc vers nous ou vers la source.

Il y a aussi 6 lignes dans le tableau. Elles correspondent aux 6 orientations de base de notre détecteur.

Dans chaque case du tableau, nous allons calculer la probabilité que le détecteur affiche «+1», c'est à dire qu'il indique que le spin est ressorti du détecteur aligné dans le même sens que lui. Nous ne calculerons pas la probabilité que le détecteur affiche «-1». Une fois qu'on a l'une on a immédiatement l'autre. Si la probabilité que le détecteur affiche «+1» est de 73% par exemple, la probabilité qu'il affiche «-1» est évidemment de 27% puisqu'il n'y a pas d'autre solution possible dans le cas du spin.

Il y a maintenant une difficulté supplémentaire qui aura une importance absolument capitale par la suite:

Nous n'allons pas calculer directement les probabilités. En mécanique quantique, il faut commencer par calculer les amplitudes de probabilité (notées A). Pourquoi cette complication ? Patience, nous y viendrons bientôt.

Une fois qu'on a obtenu l'amplitude de probabilité A, nous devons la multiplier par elle-même, autrement dit en langage mathématique «l'élever au carré» pour obtenir enfin la probabilité. Pourquoi cette complication ? Patience, vous dis-je.

Et comment calculer cette amplitude de probabilité ? Nous voilà arrivés au cœur du sujet. Plutôt que de donner de grandes explications générales, nous allons le faire tout de suite avec un premier exemple.

Un premier exemple

Nous allons commencer avec l'exemple le plus simple que nous puissions prendre, à savoir la situation <U|U> à laquelle correspond la case en haut et à gauche du tableau.

<U|U> c'est à dire appareil dans la position <U| et spins dans l'état |U>

Le détecteur est dans la position "Up" et le spin a été lui aussi préparé au cours d'une expérience précédente dans la position "Up". Le résultat est donc parfaitement assuré. Nous avons la certitude, soit 100%, soit 1, que le détecteur affichera «+1» et que le spin restera dans la position "Up".

Mais la méthode pour y arriver, je vous avais prévenu, va vous sembler un peu tortueuse.

Vecteur d'état du spin

Nous allons commencer par représenter l'état du spin par un vecteur d'état[5]. Ce vecteur d'état sera aussi ce qu'on appelle un vecteur colonne. Il est temps de nous souvenir de ce que nous avions vu dans les saisons précédentes à ce sujet. Si l'état est "Up", il n'est pas "Down". On peut donc écrire les choses comme nous le faisions dans les saisons précédentes:

|U> = 100% |U> + 0% |D>

Mais nous allons commencer à être un peu plus rigoureux sur le plan mathématique. 100%, c'est cent chances sur cent, autrement dit c'est 1. Nous écrirons donc:

|U> = 1 |U> + 0 |D> comme nous l'avons déjà vu.

Et nous allons écrire maintenant ces deux nombres dans un vecteur colonne[6], ainsi:

PQT S03 E01 equation02.png

Ces trois manières d'écrire sont équivalentes. Elles ont la même signification.

La position du détecteur

Pour le détecteur, c'est le même principe mais les choses vont être encore plus simples avec une astuce toute bête. La règle est la suivante: On prend l'équation du spin qui est orienté dans la même direction que lui, on remplace les "kets" par des "bras" et on couche le vecteur colonne pour en faire un vecteur ligne[7].

Voilà le résultat:

À partir du vecteur d'état du spin "Up":

PQT S03 E01 equation02.png

On obtient ceci pour le détecteur "Up":

PQT S03 E01 equation01.png

Calcul de l'amplitude de probabilité

Voici venu le moment de calculer notre première amplitude de probabilité. Elle prendra place dans la case blanche la plus en haut et à gauche de notre tableau.

Comment allons-nous faire ? L'idée, c'est de considérer le vecteur ligne comme une machine qui va agir sur le vecteur colonne pour donner un nombre.

Mais comme un petit dessin vaut mieux qu'un long discours, voici comment ça fonctionne: PQT S03 E01 01.png

Calcul de la probabilité

Maintenant que nous avons l'amplitude de probabilité, qui vaut 1, il nous faut l'élever au carré, c'est à dire la multiplier par elle-même pour obtenir enfin la probabilité que nous cherchons.

Évidemment, dans le cas particulier présent, c'est extrêmement simple.

1² = 1x1 = 1

Notre probabilité est bien de 1, c'est à dire de 100%. Si le spin est Up et que le détecteur est lui aussi Up, nous sommes absolument certains que le détecteur affichera «+1» pour indiquer que le spin est toujours dans l'état «Up».

Nous voici arrivés à la fin de ce premier exemple. Je vous l'avais dit, ça a l'air très compliqué comme méthode pour obtenir un résultat très simple. Mais c'est ainsi que nous pourrons progresser. Notre deuxième exemple sera un tout petit peu moins évident mais comme nous en avons déjà traité un, il devrait nous prendre moins de temps.

Deuxième exemple

Nous allons maintenant traiter le cas <U|D>, autrement dit lorsque notre détecteur est resté dans la position "Up" alors que notre spin a été préparé dans l'état "Down". Ce cas correspond à la seconde case de notre sudoku. Immédiatement à droite de la précédente.

<U|D> c'est à dire appareil dans la position <U| et spins dans l'état |D>

Dans ces conditions, quelle est la probabilité pour que le détecteur "Down" affiche la valeur «+1» indiquant que le spin vient de basculer dans le même état que lui, à savoir l'état "Down"?

Si nous nous souvenons de ce que nous avons appris précédemment, cette probabilité est nulle. Voyons voir maintenant si notre technique de calcul va donner le même résultat.

Vecteur d'état du spin

Il a été renversé, il est désormais dans l'état "Down", c'est à dire à 0% dans l'état "Up" et à 100% dans l'état "Down", soit:

PQT S03 E01 equation03.png

Description du détecteur

L'orientation du détecteur, en revanche, n'a pas changé. Il est toujours, lui, dans la position "Up", et donc représenté par le même vecteur ligne que tout à l'heure:

PQT S03 E01 equation01.png

Calcul de l'amplitude de probabilité

PQT S03 E01 02.png

Calcul de la probabilité

C'est évident. 0² = 0x0 = 0 Donc la probabilité est bien de zéro. Si le spin est à 100% "Down", le détecteur "Up" ne modifiera jamais son état et ne le projettera[8] jamais dans l'état "Up".

À vous de jouer !

Voilà, vous en savez assez maintenant pour traiter tout seul les cas <D|U> et <D|D> et remplir les deux dernières cases blanches.

Prenez deux minutes pour le faire par écrit même si vous pouvez le faire de tête. Croyez-en mon expérience, ça habitue votre esprit à jongler avec tout ça et ça vous fera gagner du temps plus tard.

Et on se retrouve au prochain épisode pour traiter la partie jaune du tableau.

Notes et références

  1. Je renvoie le lecteur à la saison 2 ou au au tome 1 du livre si quelque chose n'est pas tout à fait clair dans ce rappel.
  2. Je rappelle qu'il s'agit ici de la convention de langage que nous avons explicitée dans la saison 2. Nous savons déjà que ça n'existe pas, un spin qui se prommènerait tout seul. Par «spin», il faut comprendre « une hypothétique particule de spin 1/2 qui n'aurait aucune autre propriété que celle qui découle de son spin ».
  3. Plus pour d'exactitude, il faudait rajouter le cas où on fait la mesure exactement opposée (par exemple <D| à la place de <U|. Dans ce cas, on dans ce cas seulement, on est certains d'obtenir le résultat exactement opposé. Par exemple, si le spin a été placé exactement dans l'état "up", on est absolument certains de ne pas le mesurer dans l'état "down".
  4. Nous allons généraliser et préciser un peu tout ça au cours de cette saison.
  5. Nous avons déjà employé ce vocabulaire dans la saison 2. Nous reviendrons longuement sur le concept de vecteur d'état dans la saison 4. Pour le moment, contentons-nous d'apprendre à les utiliser.
  6. Pourquoi en colonne? Patience, chaque chose en son temps!
  7. Cette règle est presque toujours vraie, mais il y aura par la suite une petite astuce complémentaire.
  8. «Projeter dans un état» est une manière de parler que nous retrouverons souvent, car elle a un rapport avec les mathématiques qui nous étudierons plus tard.



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