Mes premiers groupes

De Vents & Jardins
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Série: La physique quantique en touriste
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EN COURS DE REDACTION

Dans l'article précédent, j'avais échoué dans ma tentative de fabriquer un groupe commutatif à 3 éléments. Mais je ne vais pas renoncer si facilement. J'y retourne et je compte bien admirer enfin le premier sommet de mon voyage: Les groupes.

(Mise à jour: Août 2019)

Plan de cet article

  • Après mon échec (par ailleurs assez instructif) à la fin de l'article précédent, je vais dans un premier temps faire une nouvelle tentative, de manière plus réfléchie. Une vidéo devrait me permettre d'expliquer mon raisonnement de manière plus claire et pégagogique que je ne pourrais le faire à l'écrit.
  • Je regarderai ensuite à quoi peut correspondre ce que j'aurai (re)découvert.
  • Je prendrai enfin le temps d'observer un peu les environs avant de repartir vers d'autres sommets.

Mon premier groupe commutatif

Pour parvenir enfin à construire mon premier groupe commutatif, je vais prendre le temps d'approfondir un peu le raisonnement et de faire les choses avec plus d'ordre et de méthode. Ça sera aussi l'occasion de commencer à manier un peu les équations algébriques.

Je pense que je réussirai mieux à expliciter les choses au moyen d'une vidéo. Un texte sur ce sujet serait

  • soit trop long, au risque de lasser le lecteur,
  • soit trop dense, au risque de le perdre
Résumé de la vidéo (cliquer pour agrandir)

Toutefois, pour ceux qui liraient tout ceci en diagonale parce qu'ils connaissent déjà le sujet mieux que moi, je vais placer ci-contre le dessin qui résume toute cette vidéo.

En résumé pour le lecteur pressé:

  • La première étape consiste à remplir les cinq cases relatives à l'élément neutre.
  • La seconde étape positionne les deux éléments symétriques.
  • Il reste alors seulement deux cases à remplir en respectant l'associativité. C'est à cet endroit que j'avais échoué dans ma tentative pifométrique précédente. Cette fois-ci, je vais donc recourir à un raisonnement algébrique pour trouver la seule solution possible. Ça tombe bien, puisque l'intérêt de l'algèbre générale, c'est justement de pouvoir résoudre des équations avec autre chose que des nombres.

A quoi correspond le groupe C3 ?

Le groupe C3 est assez connu. C'est en fait le plus petit groupe un peu "intéressant". En effet:

C3 page1.png
  • Celui que les mathématiciens appellent le «groupe trivial» ne contient qu'un seul élément, qui est son élément neutre. Aucun intérêt, sauf peut-être purement intellectuel.
  • Le groupe C2 ne contient que deux éléments. Par exemple -1 et 1 et leur multiplication. Il n'y a alors que 4 cases à remplir dans le tableau. "1" est l'élément neutre. "1" est son propre inverse et "-1" aussi. L'intérêt de ce groupe est principalement esthétique, je trouve, pour ceux qui trouvent "jolie" cette structure très dépouillée et très zen.

Avec le groupe C3, on commence à pouvoir faire un peu d'algèbre intéressante. C'est d'ailleurs comme ça par exemple que j'ai résolu tout à l'heure mon problème d'associativité.

Surtout le groupe C3 est le premier «groupe cyclique» pas trop trivial et le seul groupe de "taille 3"[1]. Qu'est-ce qu'un «groupe cyclique» ? Wikipédia et le voisin qui fait Maths sup m'en ont donné une définition très rigoureuse mais totalement incompréhensible. Tout ce que j'ai compris, c'est que les groupes cycliques ont quelque chose à voir avec les roues de bicyclettes.

Et plus précisément, le groupe C3 évoque les «symétries» géométriques d'une roue de bicyclette qui n'aurait que 3 rayons (le genre de concept idiot qui fait rire les physiciens mais pas les ingénieurs !). Ou bien celles d'un triangle équilatéral. Je vais prendre le temps de regarder ça de plus près car je sais que ce genre d'idées reviendra plus tard dans mon voyage au pays de la physique.

Si je prends un triangle équilatéral, j'ai trois façons possible de le manipuler d'une manière qui ne puisse pas se voir, sauf si j'ai mis un petit repère quelque part dessus. Ici, le petit repère sera le point noir. Il ne sert qu'à mieux visualiser les choses. Je peux:

  • Ne pas bouger. C'est le "mouvement" que je note "0"
  • Faire un tiers de tour vers la gauche, que je note -1
  • Faire un tiers de tour vers la droite, que je note 1

Et c'est tout! Si je combine plusieurs de ces trois mouvements, j'aboutirai toujours au même résultat que si je n'avais utilisé qu'un seul de ces 3 mouvements de base.

Par exemple -1 suivi de -1 aboutit à la même position que le mouvement 1.

Ou encore -1 suivi de 1 aboutit à la même position que le mouvement 0.

C3 page2.png

Au total, le tableau qui représente l'addition de ces mouvements de base est bien le même que celui qui j'avais trouvé pour le groupe C3. Il fonctionne exactement pareil. Ce groupe de mouvements du triangle est isomorphe à mon groupe de jeu avec les trois fruits.

Souvent dans la littérature, je vais trouver une autre présentation des choses, mais elle revient évidemment au même. La voici.

Si je fais deux fois le mouvement "1", il est assez naturel de le noter "2". Mais si je regarde bien, ce mouvement "2" est le même que le mouvement noté "-1" de tout à l'heure, ou plus exactement il a le même résultat, et c'est tout ce qui m'importe ici.

Je peux donc tout naturellement remplacer les "-1" par des "2" partout dans mon tableau, ça décrira toujours les mêmes mouvements (ou plus exactement des mouvements équivalents en ce qu'ils auront le même résultat).

Et pour finir, je peux changer l'ordre des colonnes et des lignes de mon tableau, ça ne change pas la loi sur les mouvements qu'elle décrit, c'est toujours la même loi, ça change juste la manière de la présenter.

C'est sous cette forme là qu'on trouve habituellement le tableau de la loi du groupe C3. La raison en est simple, c'est que si je veux faire ensuite le groupe C4 des rotations d'un carré, ou le groupe C5 de celles d'un pentagone, il me suffira d'ajouter des lignes et des colonnes à la suite de celles déjà existantes.

Le groupe C4

(Rédaction en cours)

Le groupe de Klein et le groupe D4

(Rédaction en cours)

D4 est appelé D2 par certain auteurs. C'est un piège. Je parlerai ici du groupe qui a 4 éléments et qu'on appelle aussi parfois «groupe du matelas».

Le groupe D8

D8 est appelé D4 par certain auteurs[2], ce qui constitue la suite du piège précédent. Ce serait le groupe du «matelas carré» si les matelas carrés existaient. Il présente une différence importante avec le groupe D4 «du matelas rectangulaire», c'est qu'il n'est pas commutatif. Autrement dit, certaines combinaisons de mouvements sont commutatives, mais pas toutes. Regardons ça de plus près.

(Rédaction en cours)

L'addition des vagues est-elle un groupe commutatif ?

Bon, OK, les matheux et les amis de la rigueur vont tousser si je parle comme ça. Et ils n'auront pas tort. Alors, je vais le dire de manière moins cavalière:

  • «L'addition des vagues peut-elle être décrite par un groupe commutatif ?»

ou mieux encore:

  • «L'addition des ondes peut-elle être décrite par un groupe commutatif ?»

ou mieux encore:

  • «L'addition des fonctions qui décrivent des ondes "raisonnables" constitue-t-elle un groupe commutatif ?»

C'est important que je le sache, parce que bientôt je vais devoir ajouter des fonctions périodiques pour composer des ondes selon la méthode de Fourier, et pour que ça marche et que je ne galère pas trop en écrivant les calculs, il vaudrait mieux pour moi que ça en soit un, de groupe commutatif.

(Rédaction en cours)

Dernières remarques avant de reprendre la route

On peut étudier les groupes pendant des heures et même pendant toute une vie. Il s'agit d'un domaine de recherche toujours très actif en mathématiques. Mais en ce qui me concerne, je vais m'arrêter là et bientôt reprendre ma route car je ne perds pas de vue mon objectif final.

Trois dernières remarques toutefois.

  • Au lieu de dire "groupe commutatif", on dit parfois "groupe abélien". C'est la même chose.
  • Tous les groupes ne sont pas finis. Beaucoup de groupes ont un nombre infini d'éléments. C'est le cas par exemple de l'ensemble des nombres réels (ceux qu'on utilise tous les jours) muni de l'addition.
  • Les mathématiciens désignent les groupes en suivant le modèle suivant: (ℝ,+) désignera le groupe constitué par l'ensemble des nombres réels avec leur addition.

Notes et références

  1. Les matheux disent «d'ordre 3».
  2. Par exemple dans cet ouvrage