Les isomorphismes en touriste

De Vents & Jardins
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(Une version vidéo de cet article, plus vivante, plus visuelle et avec beaucoup plus d'explications encore est en préparation. Les liens vers ces vidéos sont disponibles en bas de page, dans la section «Pour aller plus loin».)

Vous avez peut-être déjà entendu parler d'isomorphisme?

C'est un mot qui est né dans le langage mathématique, mais qui s'en est assez vite échappé. On l'emploie aussi en chimie ou en linguistique et même parfois de manière un peu abusive dans la langue courante, pour dire que deux choses très différentes fonctionnent de la même manière.

Perso, j'aurais tendance à dire qu'un isomorphisme, c'est une analogie qui marche super bien. Mais bon, on est bien d'accord, ça ne peut pas suffire si je veux mettre un peu de rigueur scientifique dans mes raisonnements.

Pour moi, comprendre ce que signifie ce mot en mathématiques m'a pris pas mal de temps, mais je ne l'ai jamais regretté ensuite. C'est ce que je voudrais partager avec vous dans cet article.

Le plan de cet article

  • Je vais commencer par expliquer pourquoi j'ai eu cette idée bizarre de m'intéresser aux isomorphismes.
  • Je montrerai ensuite pourquoi les définitions mathématiques et les dictionnaires ne sont pas un bon point d'entrée pour les gens ordinaires comme moi. Mais ça nous permettra d'introduire le mot "morphismes" sur lequel nous serons obligés de revenir ensuite.
  • Je ferai ensuite un assez long détour par des exemples concrets: Deux sortes d'addition différentes d'abord, et l'utilité de l'isomorphisme qui se cache derrière les tables de logarithmes qui étaient beaucoup utilisées dans ma jeunesse et qui ont été remplacées par les calculatrices depuis.
  • Nous rentrerons ensuite dans la théorie "abstraite" en parlant de magmas, d'ensembles, et d'autres trucs de ce genre. Nous y passerons pas mal de temps parce qu'au début, ça fait quand même pas mal de concepts nouveaux à ingurgiter.
  • Nous pourrons alors nous pencher sur la propriété "fondamentale" des morphismes.
  • Une fois que nous aurons pigé ce qu'est un morphisme, comprendre ce qu'est un isomorphisme ira assez vite.
  • Mais il nous restera à regarder quelques contre-exemples, car les contre-exemples nous apprennent souvent autant de choses que les exemples.
  • Nous finirons par quelques aperçus des voyages touristiques qu'on peut envisager autour du concept d'isomorphisme, au prix comme toujours d'approximations souvent abusives mais qui peuvent être une source d'inspiration.

Prêts ? Alors c'est parti!

Pourquoi je m'intéresse aux isomorphismes?

Vous vous souvenez peut-être qu'un de mes objectifs d'otium est de parvenir à comprendre un peu mieux la physique quantique. Et pour cela, il faut que je me remette aux mathématiques. J'ai écrit un premier article sur le sujet: Pourquoi... je m'intéresse à l'algèbre_?. Si vous ne l'avez pas lu, je vous invite à le parcourir au moins en diagonale, car il contient des exemples que je vais réutiliser maintenant.

Dans cet article, nous avions vu que l'algèbre «généralise les règles élaborées en arithmétique à d’autres ensembles d’objets mathématiques». Et c'est ça qui fait sa force. A titre d'exemple, dans l'article précédent, nous avions vu que les règles qui régissent l'addition des nombres entiers pouvait servir dans d'autres cas, comme par exemple l'addition de mouvements.

Mais nous avions vu aussi qu'il pouvait survenir certaines complications. Nous avions vu par exemple que dans mon jardin, faire 5 pas vers le Nord puis 5 pas vers l'Est m'amenait au même endroit que l'inverse, 5 pas vers l'Est puis 5 pas vers le Nord.

En revanche, à la surface de la Terre, ça ne marche plus: Faire 5000 km vers le Nord puis 5000 km vers l'Est ne m'amènera pas du tout au même endroit que si je fais les choses dans l'ordre inverse, 5000 km vers l'Est, puis 5000 km vers le Nord. Nous avions même calculé cette différence.

Ce qu'il y a de bien avec les mathématiques, c'est qu'elles permettent de mieux comprendre le monde dans lequel nous vivons. Et ce qu'il y a de bien avec les mathématiciens, c'est qu'ils aiment bien aller au fond des choses.

Et aller au fond des choses, approfondir cette histoire de «trucs qui fonctionnent presque pareil mais des fois pas tout à fait pareil», c'est ce qu'ils ont fait en élaborant cette notion d'«isomorphismes».

Voilà pourquoi les isomorphismes, c'est très important si on veut comprendre le monde qui nous entoure. En tout cas le monde physique (et astrophysique).

Une définition mathématique

Pour les adeptes de l'enseignement classique des mathématiques, l'affaire sera pliée en une ligne:

Un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un morphisme inverse.

OK, super, mais du coup, c'est quoi un morphisme ??? L'explication classique est presque aussi "simple" et rapide:

En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respecte certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre. (Wikipédia)

On trouve quelque chose d'un peu plus "simple" dans le dictionnaire:

Application d'un ensemble dans un autre, chacun étant muni d'une loi de composition interne telle que l'image d'un composé de deux éléments est le composé des images de ces éléments. (Robert)

Vous n'avez rien compris? Ça vous donne envie de renoncer, voire de pleurer un petit coup?

Je trouve ça un peu normal, ça m'a fait pareil. Alors prenons le temps de passer par des cheminements moins académiques mais plus naturels.

«D'étudier en touristes, quoi!», comme disait un de mes profs de maths quand il espérait nous vexer.

Petit retour sur les additions de billes et de "flèches"

Pour commencer, prenons le temps de revenir sur cette histoire de choses qui fonctionnent des fois pareil et des fois pas tout à fait pareil.

Dans l'article précédent, j'avais, pour prendre un langage approximatif, «additionné des billes» puis «additionné des flèches» et nous avions vu que ça fonctionnait «presque pareil», de manière commutative. Le moment est venu de regarder de nouveau tout ça mais, cette fois, de beaucoup plus près.

Qu'est ce que nous avons fait exactement dans le premier cas?

Addition de billes

Nous avons rassemblé deux paquets de billes, contenant respectivement 14 billes rouges et 12 billes bleues, et nous les avons recomptés de deux manières différentes, en commençant par les billes rouges d'abord, puis en commençant par les billes bleues. Nous avons observé que le résultat de changeait pas. Qu'on commence par les billes rouges ou par les billes bleues, on obtient toujours le même total à la fin.

Ce résultat nous semble tellement évident, qu'on n'y prête même pas attention. Pourtant, si on observe un petit enfant quand il commence à manipuler des objets, on comprend que ça n'est pas forcément évident pour lui. Il lui faudra sans doute manipuler pas mal de cubes dans sa petite enfance avant qu'il ne finisse par intérioriser ce résultat qui semble tellement évident aux adultes, à savoir que l'ordre dans lequel on compte un ensemble d'objets ne change pas le nombre de ces objets.

Il y a aussi une deuxième évidence que nous avons tendance à perdre de vue: Nous avons ajouté des nombres pour calculer le résultat d'une autre opération, à savoir celle de réunir deux ensembles de billes. La aussi, il s'agit d'une opération que nous avons réalisée tellement souvent depuis notre petite enfance que nous n'y pensons même plus. L'addition qui nous permet de trouver le nombre total de billes marcherait aussi avec des ensembles de bûchettes, avec deux ensemble de cailloux, avec deux ensembles de n'importe quoi. Mais est-ce vraiment si sûr au fond? Si je rassemble deux gouttes d'eau avec cinq gouttes d'eau, j'ai intérêt à ne pas les rassembler trop serrées, sinon je risque fort d'en mélanger quelques-unes! Quoi qu'il en soit, il faut que je reste bien conscient de ce que j'ai fait: J'ai ajouté des nombres pour décrire une situation dans laquelle je rassemblais des objets. Quel rapport entre les nombres et les objets? Ce n'est pas si simple. Comme le disait Platon et montrant sa main: «Je vois bien les doigts, mais où est le cinq?» Nous n'approfondirons pas ici cette question, je le ferai peut-être un jour dans un autre article, mais le concept de nombre entier est déjà à lui seul une énigme qui mérite qu'on prenne le temps de mieux l'expliciter.

Venons-en maintenant à «l'addition des flèches».

"addition" de flèches

Il s'est passé le même genre de raccourci lorsque j'ai fait cela. En fait, je n'ai pas vraiment additionné des flèches. Si je l'avais fait à la manière de l'addition des billes, j'aurais trouvé qu'une flèche rouge plus une flèche bleue, ça donnait le même résultat qu'une flèche bleue plus une flèche rouge, à savoir deux flèches!

Non, lorsque j'ai "ajouté des flèches", j'ai procédé complètement différemment. Je les ai mises bout à bout et j'ai regardé à quel endroit j'aboutissais. Là aussi, comme dans le cas des nombres entier, il faudrait prendre le temps de mieux comprendre ce que j'ai fait, mais pour le moment, je vais me contenter de voir qu'il s'est passé quelque chose de très similaire avec ce que j'ai fait dans le premier cas. En fait, je voulais décrire la combinaison de deux mouvements. Et pour décrire cette combinaison de deux mouvements, je l'ai représentée par l'opération de mettre deux flèches bout à bout.

Résumons-nous:

J'avais deux phénomènes différents, que j'ai décrits avec deux opérations mathématiques différentes:

  • La réunion de deux ensembles d'objets, que j'ai décrite au moyen de l'addition de nombres entiers.
  • La combinaison de deux mouvements, que j'ai décrite au moyen de l'addition de deux flèches (deux "vecteurs", en langage plus mathématique).

Nous sommes bien là au coeur du sujet: Tout l'intérêt de l'algèbre, en tout cas de mon point de vue, c'est:

  1. De généraliser à autre chose que des nombres entiers (par exemple à des vecteurs) les règles qui s'appliquent aux nombres entiers.
  2. De décrire des phénomènes physiques au moyen de concepts mathématiques.

Dans les deux cas, on passe d'une chose à une autre et on regarde ce qui reste ressemblant, ce qui fonctionne pareil, ou presque.

Un exemple concret: La table de logarithmes

Avant de réfléchir plus en détail sur le fonctionnement de ces "analogies qui marchent super-bien" que sont les isomorphismes, je vais avoir besoin d'un autre exemple concret:

Table de logarithmes scolaire

La table de logarithmes a été l'un des grands instruments de calcul de ma jeunesse, quand les calculatrices de poches étaient beaucoup trop chères pour les élèves. Son utilisation s'appuyait justement sur le principe des isomorphismes. C'est pourquoi je vais la prendre comme exemple.

Il existait toutes sortes de tables de logarithmes. Les plus précises étaient de très gros livres qui coûtaient très cher. Les lycéens utilisaient des modèles simplifiés.

Comment ça marche ?

C'est basé sur une généralisation du principe des puissances de 10 que nous avons vu au collège. On établit un isomorphisme entre l'écriture d'un nombre sous sa forme ordinaire et son écriture sous la forme de puissance de 10[1].

Prenons quelques exemples ultra simples pour commencer:

  • 100 = 101 On dira que le logarithme décimal de 10 est 1. Voilà pourquoi ça s'appelait des tables de logarithmes. Ca aurait pu s'appeler des «tables d'exposants des puissances de 10», mais les mathématiciens aiment bien inventer des mots que personne ne comprend[2].
  • 100 = 102 On dira que le logarithme décimal de 100 est 2
  • 1000 = 103
  • 10000 = 104
  • etc.

Premier exemple

Et maintenant une multiplication de niveau collège:

  • 100 x 10 = 102 x 101 = 102+1 = 103 = 1000

Ca a l'air tout à fait évident, mais avant de compliquer les choses, prenons le temps de regarder de beaucoup plus près ce que nous venons de faire:

Pour multiplier les nombres, nous avons additionné leurs puissances.

Premier exemple

Autrement dit, nous sommes partis d'une structure algébrique[3] munie d'une opération, la multiplication, pour passer à une structure algébrique différente[4] munie d'une autre opération, l'addition. Et ensuite nous sommes revenus dans l'ensemble de départ en faisant le chemin inverse.

Je vais résumer ça dans un schéma, car c'est très important de prendre le temps de bien comprendre comment tout cela fonctionne[5].

  • Nous sommes partis de deux nombres (100 et 10) que nous voulions multiplier (en haut à gauche).
  • Au lieu de les multiplier directement, nous avons commencé par les écrire sous la forme de puissances de 10 (102 et 101) pour nous occuper seulement de leurs exposants, qu'on appelle aussi les logarithmes décimaux (flèches bleues et j'ai appelé "f" la fonction "logarithme décimal" qui remplace les nombres par leur exposant.).
  • Nous nous sommes concentrés sur ces exposants (en bas à droite) et au lieu de multiplier les nombres, nous avons additionné leurs logarithmes décimaux.
  • Une fois trouvé le résultat de cette addition, c'est à dire 3, nous sommes remontés dans la table du haut (flèche verte) pour voir à quel nombre ça correspond, et nous avons trouvé 1000.

Si c'est parfaitement clair pour vous, sautez l'exemple suivant. Sinon, prenez le temps de le regarder lui aussi.

Deuxième exemple

Deuxième exemple

Prenons maintenant une autre multiplication de puissances de 10:

  • 100 x 1000 = 102 x 103 = 102+3 = 105 = 100 000

Voici le schéma qui correspond à cette nouvelle situation. Prenez le temps de bien comprendre ce qu'il signifie: Ici aussi, nous sommes passés d'une multiplication des nombres à une multiplication de leurs exposants, puis nous sommes revenus aux nombres.

Je ne vais pas multiplier ici les explications écrites, je vous laisse observer par vous-même. Si besoin, sachez simplement que je commente aussi ce second schéma dans la vidéo.

Troisième exemple

Bon, c'est bien gentil tout ça, mais si je ne peux utiliser cette technique que pour multiplier des puissances de dix, je ne risque pas d'aller loin et surtout, je n'ai pas besoin d'acheter une table de logarithmes !

troisième exemple

L'astuce, c'est que que je peux exprimer n'importe quel nombre sous la forme d'une puissance de 10. Ca donne des choses un peu bizarres, car je vais avoir des puissances qui ne seront plus des nombres entiers, mais c'est possible. Nous regarderons dans un autre article à quoi correspondent ces puissances bizarres qui ne sont pas des nombres entiers, mais pour l'instant, contentons-nous d'admettre qu'elles existent et qu'on les trouve inscrites dans les tables de logarithmes.

Par exemple, pour 20, on trouvait dans notre table de logarithmes que 20 est égale (à très peu de chose près[6]) à 101.3010. Et pour 50, on trouve 101.6990.


Nous voici prêts pour mon troisième exemple:

20=101.3010

50=101.6990

20 x 50 = 101.3010 x 101.6990 = 101.3010+1.6990 = 103 = 1000

Quatrième exemple

Vous me direz sans doute que vous ne voyez toujours pas bien quel intérêt on avait à utiliser des tables de logarithmes ? Un dernier exemple vous éclairera un peu plus.

On trouve dans les tables de logarithmes que:

256 = 102.40824 et que 137 = 102.13672

Et donc:

256 x 137 = 102.40824 x 102.13672 = 102.40824+2.13672 = 104.54496 = 35072

Et c'était ça, le véritable intérêt des tables de logarithmes: Ca va beaucoup plus vite de faire cette opération un peu alambiquée que de faire la multiplication à la main. Et surtout, il y a beaucoup moins de risques d'erreur notamment au niveau des retenues.

En fait, l'avantage des tables de logarithmes allait beaucoup plus loin encore, puisque cette méthode permettait aussi de remplacer les divisions par de simples soustractions. Eh oui! On commence à toucher là la puissance de l'algèbre en général et de celle des isomorphimes en particulier: Si on peut remplacer les multiplications par des additions, ce qui simplifie déjà pas mal les choses, alors on peut aussi remplacer l'opération inverse de la multiplication, qui est la division, par celle de l'addition, qui est la soustraction. Dans l'exemple ci-dessus, ça donne:

35072 / 256 = 104.54496 / 102.40824 = 104.54496-2.40824=102.13672 = 137

C'est la même opération que celle que nous avons faite juste au-dessus, mais en sens inverse.

Encore plus fort, les tables de logarithmes permettent de remplacer l'extraction de racines carrées (une vraie misère quand il faut le faire à la main) par une simple division par deux (un vrai bonheur pour les lycéens, mais aussi pour les ingénieurs du temps où ils devaient tout calculer à la main).

Telle est la puissance de cet isomorphisme ! On remplaçait ainsi beaucoup d'opérations difficiles à réaliser par des opérations considérablement plus faciles. Mais évidemment, maintenant qu'on utilise tous des calculatrices de poche qui ne coûtent presque plus rien, on a perdu tout ça de vue.

Où on va parler d'ensembles, de magmas et de fruits

Arrivés à ce stade, nous voyons un peu mieux ce qui peut se cacher derrière le concept intuitif d'analogie, autrement dit de «trucs différents mais qui se ressemblent et qui fonctionnent pareil».

Les mathématiciens ont parfois besoin d'intuitions mais, dès qu'ils en ont une, leur premier mouvement ensuite est d'essayer de la préciser le plus rigoureusement possible. Pour rentrer vraiment dans le coeur du sujet, nous allons donc devoir:

  1. Préciser ce que nous appelons intuitivement «des trucs différents mais qui se ressemblent». Nous prendrons pour cela les «trucs» les plus simples qui existent en algèbre. Ils portent un nom bizarre: des magmas.
  2. Préciser ce que nous appelons intuitivement «fonctionner». Nous utiliserons une opération simple, qui portera le nom de «loi de composition interne».
  3. Préciser ce que nous voulons dire quand nous disons que le second truc imite le premier. Ce qui nous amènera au concept de morphisme (en anglais homomorphism).
  4. Nous regarderons alors à quelle condition nous pouvons dire que le premier «imite» le second autant que le second «imite» le premier. Ce sera le concept d'isomorphisme.


Prêts ? C'est parti !

Commençons par le concept de «magma».

C'est typique des blagues favorites des mathématiciens: Plutôt que d'inventer de nouveaux mots, comme le feraient n'importe quels autres scientifiques, ils adorent réutiliser des mots du langage courant pour exprimer des choses qui n'ont absolument aucun rapport avec ces mots. Inutile donc de chercher un quelconque rapport avec une masse de roches en fusion dans ce qui va suivre, il n'y en a aucun.

Au début du XXème siècle, pour approfondir notre compréhension des principes de base des mathématiques, un peu comme nous venons de le faire plus haut avec les "additions de flèches", les mathématiciens ont été contraints de procéder à une véritable révolution interne qu'on a appelée «la crise des fondements». C'est là que sont vraiment apparus ces deux concepts dont nous allons nous servir maintenant, à savoir les ensembles et les magmas.

Pour ce qui est des ensembles, je n'en parlerai pas beaucoup maintenant. La théorie des ensembles peut parfois être assez subtile, par exemple quand on commence à réfléchir à des problèmes de barbiers qui ne se rasent pas eux-mêmes, mais nous n'aurons pas besoin d'aller si loin dans cet article. Je me contenterai donc du concept "naturel" d'ensemble, à savoir qu'un ensemble est un paquet de trucs. Je peux parler de l'ensemble des livres de ma bibliothèque par exemple, ou de l'ensemble des stylos qui sont sur mon bureau. Les mathématiciens préféreront comme toujours des chose plus abstraites, comme l'ensemble des nombres entiers, ou l'ensemble des symétries d'un triangle, mais bon, l'idée reste la même, un ensemble est un paquet de trucs, chacun de ces trucs étant appelé un élément de l'ensemble.

Mais un ensemble tout seul, à moins de le contempler indéfiniment, ce n'est pas très intéressant. Ce qui est beaucoup plus intéressant, c'est de regarder les relations qui existent ou qu'on peut inventer entre les éléments de l'ensemble. On peut penser par exemple aux relations qui existent entre les membres d'une famille. «Qui est le parent de qui?» ou «Qui est le cousin de qui?» par exemple.

Je ne m'attarderai pas plus ici sur ce genre de relation, car nous allons avoir besoin d'une autre sorte de relation, plus précise, que les mathématiciens appellent une «loi de composition interne». (Et là, surprise, on voit déjà apparaître une des expressions bizarres utilisés dans les définitions compliquées qu'on avait trouvées au début de l'article. Oui, on avance doucement, mais on avance quand même!)

Un ensemble de fruits

Plutôt que de partir sur des concepts toujours plus abstraits (vous savez bien que ce n'est pas comme ça que j'ai réussi à comprendre le peu de maths que j'ai compris!), je vais partir d'un exemple concret, un ensemble de trois fruits, composé d'une pomme, d'une poire et d'une banane.

Il me faut maintenant définir dans mon ensemble, une «loi de composition interne». Qu'est-ce que c'est qu'une loi de composition interne. Facile, c'est une loi de composition et elle est interne!

Bon, plus sérieusement et dans mon exemple particulier:

Une «loi de composition interne» est une règle qui va me permettre d'associer un fruit à chaque couple de fruits.

Dans le cas le plus général, les mathématiciens sont obligés de prendre en compte toutes sortes de difficultés, ce qui les amène à rédiger des énoncés très rigoureux mais totalement incompréhensibles pour le débutant. Mais encore une fois, pour nous qui allons dans le sens naturel, du particulier au général et du plus facile au plus difficile, cette "définition" suffira pour commencer.

Alors commençons.

Ma première loi de composition interne

Je vais commencer par une relation très simple. A chaque couple de fruits, je vais associer celui des deux que je préfère. Entre la pomme et la banane, je préfère la pomme. Entre la poire et la banane, je préfère la poire. Et entre la poire et la pomme, je préfère la poire. Voilà, c'est terminé, j'ai ma loi de composition interne. Elle est très simple. Mais comme bientôt on va s'occuper de cas un peu plus compliqués, autant prendre tout de suite de bonnes habitudes pour bien comprendre ce qui se passe, je vais synthétiser ma loi de composition interne dans un petit tableau.

Regardons-le de plus près.

  1. Toutes les cases sont remplies. Il n'y a pas de case vide.
  2. Toutes les cases sont remplies par un seul fruit. Il n'y a pas de case qui contiendrait plusieurs fruits.
  3. Le tableau permet d'associer deux fruits à un troisième.
  4. Il n'y a dans les cases que des fruits qui étaient déjà dans mon ensemble de départ. On ne voit nulle part apparaître une cerise ou un fromage.

Les propriétés numéro 1 et 2 sont indispensables pour que ma relation puisse être appelée officiellement une «application». La propriété numéro 3 lui permet de prendre le nom de «loi de composition». Enfin la propriété numéro 4 est indispensable pour que cette loi de composition mérite officiellement le nom de «loi de composition interne». Si on avait vu apparaître autre chose que les fruits de départ dans le tableau, ça ne serait plus une loi de composition interne mais une loi de composition externe.

Mon premier «magma»

Voilà. C'est terminé pour ce paragraphe! J'ai un ensemble, composé de trois fruits, et je l'ai muni d'une loi de composition interne. Cela suffit à constituer ce qu'on appelle un «magma».

Un «magma» est la plus simple des «structures algébriques». Avec lui, on peut déjà commencer à faire vraiment de l'algèbre, car l'algèbre est justement la discipline qui étudie les structures algébriques. Alors bien sûr, il y a des structures algébriques beaucoup plus compliquées que ce tout premier magma de débutant, mais chaque chose en son temps.

Nous pouvons désormais commencer à comprendre ce que dit Wikipédia:

En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

et

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E.

Je ne sais pas pour vous, mais pour moi, comprendre ce qu'est un magma a déjà été un énorme progrès!

Toutefois, avant d'en terminer tout à fait avec ce paragraphe, je voudrais rajouter quelques remarques complémentaires à propos de la loi de composition interne que je viens d'inventer:

  • Cette loi est symétrique: Entre la pomme et la poire, ma préférence est la même qu'entre la poire et la pomme. Cette symétrie se voit tout de suite dans le tableau, qui est symétrique par rapport à la diagonale principale (celle qui part en haut à gauche et qui descend en bas à droite).
  • La ligne des poires est particulière: "Poire" associé à n'importe quoi d'autre donne toujours "poire".
  • La ligne des bananes est spéciale aussi: "Banane" associé à n'importe quoi d'autre donne toujours ce n'importe quoi d'autre.
  • Enfin, ma loi a une autre propriété importante un peu plus longue à décrire, qui ne se voit pas tout de suite et qu'on ne va pas avoir besoin d'expliciter pour le moment.

Toutes ces autres particularités ont aussi leur petit nom mathématique spécial. Aucune d'entre elle n'est indispensable pour faire un magma, mais certaines d'entre elles vont devenir indispensables par la suite.

Mais chaque chose en son temps.

Et encore un autre magma !

Est-ce bien un autre magma ?

Pour faire mon morphisme, je vais avoir besoin d'un deuxième magma.

Mais cette fois-ci je vais accélérer un peu. Je vous le montre et je vous laisse vérifier vous-même qu'il a lui aussi le droit de porter le nom de magma.

  • Y-a-t-il un ensemble ?
  • Cet ensemble est-il muni d'une loi de composition interne, c'est à dire:
    • La relation est-elle bien une application, c'est à dire:
      • Pas de cases vides ?
      • Pas de cases remplies avec plusieurs éléments ?
    • Cette application est-elle bien une loi de composition, c'est à dire qu'elle associe bien un élément à chaque couple de deux éléments ?
    • Une loi de composition interne, c'est à dire que tous les résultats font bien partie de l'ensemble de départ ?

Oui??? Cool!!! J'ai bien un deuxième magma!

En fait, rien d'étonnant à ça! J'ai triché! J'ai tout simplement repris le premier et j'ai remplacé les fruits par des chiffres. Je savais donc par avance que le second cas aurait exactement les mêmes propriétés que le premier.

Quoi qu'il en soit, et malgré cette "tricherie", j'ai donc bien désormais «deux structures algébriques de même espèce» comme indiqué dans une des définitions plus haut. La situation commence enfin à s'éclaircir un petit peu et je commence à reprendre un peu confiance en moi.

Une application entre les deux magmas

Si j'en crois la définition de Wikipédia, il me faut maintenant établir une autre relation entre mes deux magmas. Cette autre relation sera plus simple en ce sens qu'elle associera un élément du deuxième magma et un seul à chaque élément du premier. Plus besoin de faire une table de tous les couples possibles. En revanche, la définition me dit bien que cette relation doit être une application. Donc pas de "case vide" (pas d'élément sans associé) et pas de "cases surchargées" (pas d'élément avec plusieurs associés). Pour chaque élément de l'ensemble de départ, un associé et un seul.

J'ai trois éléments dans l'ensemble de départ, qui est l'ensemble des fruits, et trois éléments aussi dans celui d'arrivée. Ca va donc bien simplifier les choses. (En fait, c'est pas vraiment un coup de chance, puisque j'ai triché!). Il me suffit de définir trois associations. Je vais les faire ainsi:

  • Pomme -> 2
  • Poire -> 0
  • Banane -> 1

Pourquoi ainsi et pas autrement ? Parce que j'ai simplifié la création de mon exemple en "duplicant" mon premier magma pour être certain par avance que le second aurait le même "fonctionnement" que le premier[7].

Cette application qui relie mes deux magmas, je vais l'appeler "f". Pourquoi "f"? Tout simplement parce que c'est le nom que je vais réutiliser plus tard.

La fameuse "propriété spéciale" des morphismes

Mon premier morphisme ?

Nous voici enfin arrivés vraiment au coeur du problème ! J'ai maintenant tout ce dont j'avais besoin:

  • Deux «trucs qui se ressemblent et qui fonctionnent d'une certaine manière», et plus précisément deux structures algébriques de «même espèce». Ici ce sont deux magmas, c'est la situation la plus simple. Et je sais qu'ils sont bien de «même espèce» puisque j'ai un peu triché en décalquant le second sur le premier.
  • Une moyen de «les comparer». En l'occurrence une application qui me permet de passer de l'un à l'autre, c'est à dire du magma des fruits à celui des chiffres. J'ai dessiné cette application et l'ai appelée "f".

Maintenant, pour que je puisse affirmer que mon second «truc» «imite» le premier, encore faut-il que je trouve un moyen de dire «imiter» en langage mathématique. Concrètement, il va falloir que mon application f possède une certaine "propriété spéciale".

Qu'elle est-elle au juste, cette fichue "propriété spéciale" ???

Le Robert me dit que «l'image d'un composé de deux éléments est le composé des images de ces éléments».

Ouch! Dit comme ça, ça semble à peu près incompréhensible!

Que dit Wikipédia ?

C'est encore pire ! Son article (Morphisme) est totalement incompréhensible. C'est le genre d'article qui ne peut servir qu'à ceux qui ont déjà tout compris du sujet. (Je vous laisse vérifier par vous-même.)

Mais à force de fouiller dans Wikipédia, j'ai fini par y trouver une piste. En effet, quelque part dans l'article sur les morphismes de monoïdes (peu importe ici ce qu'est un monoïde), j'ai trouvé un peu par hasard l'explication sur la fameuse "propriété spéciale" qui concerne les morphismes de magmas. En langage mathématique, elle s'écrit comme ceci: f(x⚹y)=f(x)★f(y) et cet article de wikipédia nous dit: «cette propriété est celle des morphismes de magma»

Voilà qui semble bien coller avec l'explication sibylline du Robert «l'image d'un composé de deux éléments est le composé des images de ces éléments».

Pour le vérifier, réécrivons la fameuse propriété, modifions un peu notre dessin et regardons si nous pouvons confirmer qu'il s'agit bien d'un morphisme.

Alors, j'ai eu bon ou pas?

Simplification de mon schéma

Je vais commencer par simplifier un peu mon schéma en remarquant que je n'ai pas besoin de dessiner les ensembles avec lesquels j'ai construit mes magmas. En effet, mes fruits sont déjà représentés dans le tableau de ma loi de composition interne "étoile à six branches" (⚹) et mes chiffres sont déjà aussi dans le tableau de ma loi de composition interne "étoile à cinq branches" (★).

J'ai juste besoin de décaler un peu les flèches qui représentent l'application f qui relie entre eux les éléments de mes deux magmas.

Je vous laisse le temps de vérifier que les deux schémas représentent bien la même chose.

Il est temps maintenant de rentrer dans le dur de la «propriété des morphismes». Comme d'habitude, je vais procéder à l'inverse des cours de maths, en partant d'un cas particulier et en ne généralisant qu'ensuite:

Calcul de f(x⚹y)

Je prends comme cas particulier:

x=poire et y=banane
Un exemple de la propriété fondamentale des morphismes

Je regarde dans ma loi de composition interne des fruits, que j'ai notée ⚹ et je vois que si j'ai le choix entre la poire et la banane, je préfère la poire:

x⚹y = poire ⚹ banane = poire

Il me reste à regarder comment est transcrite la poire dans mon tableau de chiffres. Je vois que l'application f renvoie la banane sur le chiffre 0. En langage algébrique, je peux donc résumer tout ça en écrivant :

si x = poire et y = banane,
alors f(x⚹y) = f(poire ⚹ banane) = f(poire) = 0

Je fais un nouveau petit schéma pour résumer cette succession d'opérations et je note bien le résultat final: Dans ce premier cas particulier, c'est à dire quand x = poire et y = banane, alors le résultat est:

f(x⚹y) = 0

Calcul de f(x)★f(y)

Il me faut maintenant regarder ce que donne la partie droite de la propriété des morphismes. Je la rappelle, il me faut maintenant calculer f(x)★f(y) dans le cas particulier ou x = poire et y = banane.

Dans ce cas, f(x) = f(poire) = 0 (Prenez le temps de vérifier sur le schéma)

et de même: f(y) = f(banane) = 1

Maintenant, je peux regarder dans le tableau ★ de la composition des chiffres et je trouve que si j'ai le choix entre 0 et 1, je préfère 0. En langage algébrique, je peux donc résumer tout ça en écrivant :

si x = poire et y = banane, alors f(x)★f(y) = f(poire)★f(banane) = 0★1 = 0

Je recopie ce résultat:

f(x)★f(y) = 0

Ouf! Ca a été long, mais j'ai bien fini par démontrer que, dans le cas particulier où x = poire et y = banane, j'ai bien:

si x = poire et y = banane, alors f(x⚹y) = f(x)★f(y) = 0

Ca a été un peu fastidieux, je le reconnais. D'autant que pour être certain que mon morphisme est bien un morphisme, il me faut encore vérifier que ça marche aussi dans absolument tous les cas, et pas seulement quand x = poire et y = banane ! Je commence à comprendre pourquoi nos profs de maths n'ont jamais eu le temps de nous montrer tout ça! Ils n'ont tout simplement pas eu le temps de le faire. Et c'est sûr que donner la définition du livre et laisser les étudiants se débrouiller avec ça (ou prendre des cours particuliers!), ça va beaucoup plus vite!

Bon, un dernier petit effort et on aura enfin vérifié que mon morphisme mérite bien de porter le nom de morphisme.

Si je regarde ce qui s'est passé dans le premier cas, avec x = poire et y = banane, je n'ai aucun mal à généraliser à tous les autres cas, puisque tout mon tableau de composition des chiffres a été entièrement décalqué sur mon tableau de préférence des fruits. Donc tous les autres cas fonctionneront aussi, puisqu'ils ont été construits exactement de la même façon.

C'est ça la grande force de l'algèbre: Une fois que j'ai pris le temps de bien comprendre comment est construit un cas particulier, je peux généraliser à tous les autres cas qui ont été construits de la même façon. Et ça, c'est extrêmement précieux.

Et maintenant, la propriété des morphismes toute nue!

Cas particulier des puissances de 10
Cas général

La maison ne reculant devant aucun sacrifice pour conserver l'attention de ses visiteurs, nous allons maintenant prendre le temps de contempler la propriété des morphismes toute nue!

La voici dans le cas particulier des puissances de 10, puis dans un cas tout à fait général

Prenons le temps de bien observer ces schémas et de bien comprendre ce qu'ils symbolisent:

Si on fait l'opération de la première structure et qu'ensuite on se transpose dans la seconde, on arrive au même résultat que si on fait l'inverse, à savoir commencer par se transposer dans la seconde structure, avant de faire l'opération de cette seconde structure.

A chaque fois, nous avons deux structures:

  • qui contiennent des objets différents
  • qui obéissent à des lois différentes
  • mais qui "se ressemblent" au niveau de leur composition
  • et qui fonctionnent exactement pareil en ce qui concerne leurs lois
  • De plus, il existe un moyen de passer de l'une à l'autre.

Je ne sais pas pour vous, mais pour moi, ça veut dire beaucoup !

Ça veut dire que les mathématiciens ont réussi à trouver un moyen très rigoureux de préciser le concept autrefois un peu vague d'analogie. Bien sûr, vous me direz que les philosophes de l'Antiquité le savaient depuis toujours, qu'il existait des analogies fécondes dans les sciences. Mais l'apport des mathématiques "modernes", c'est d'être allé beaucoup plus au fond des choses. Le concept de morphisme est beaucoup plus rigoureux que celui d'analogie, qui reste beaucoup plus flou.

Il n'est pas très étonnant que cette idée soit rapidement sortie du champ des mathématiques pour se décliner, parfois un peu abusivement, dans de nombreuses autres disciplines. On retrouve par exemple un concept d'isomorphisme en chimie et même en sociologie. C'est vraiment un concept très puissant.

Mais il est temps de passer à la suite.

Petit bestiaire de morphismes

Si vous avez des matheux dans votre entourage (ce que je vous conseille de ne pratiquer qu'avec modération), vous ne les entendrez pratiquement jamais parler de morphisme. Mais vous les entendrez souvent parler de réduire des endomorphismes ou de faire d'autres misères à des homéomorphismes.

C'est qu'il y a tout un bestiaires des morphismes. nous allons en regarder quelques-uns dont on entend souvent parler:

  • L'homomorphisme. Bon, là, c'est juste un piège à étudiants: En anglais, on ne dit pas «morphism», on dit «homomorphism». En français, on peut dire les deux. C'est exactement la même chose!
  • Un isomorphisme est un morphisme qui admet un «morphisme inverse». Autrement dit, il y a un morphisme qui permet de passer de la première structure à la seconde, mais il y en a un aussi qui permet de refaire le chemin en sens inverse. Ca n'a l'air de rien, mais c'est drôlement important de pouvoir revenir dans la structure de départ, et malheureusement, ce n'est pas toujours le cas.
  • Un endomorphisme est un morphisme qui ne change pas d'ensemble. Dans notre exemple de tout à l'heure, nous avions deux ensembles différents, un ensemble de fruits et un ensemble de nombres. Mais je peux aussi faire un morphisme qui reste dans le même ensemble. Par exemple dans le cas des logarithmes, les logarithmes sont aussi des nombres. L'ensemble de départ (celui des nombres que je veux multiplier) et l'ensemble d'arrivée (celui des logarithmes que je vais ajouter) sont tous les deux des ensembles de nombres. Mieux que ça, c'est le même ensemble de nombres (celui des nombres réels strictement positifs).
  • Un automorphisme est un morphisme qui combine les deux qualités précédentes: C'est un isomorphisme, c'est à dire qu'il est bijectif, c'est à dire qu'il y a toujours un moyen de faire le chemin inverse et de revenir dans l'ensemble de départ. Et en plus, c'est un endomorphisme, car l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont en fait le même ensemble, seules les lois de composition internes ont changé. Notre histoire de logarithmes, qui permettent de remplacer une multiplication de nombres par une addition de nombres et de toujours pouvoir remonter ensuite sur le bon résultat, est un bon exemple d'automorphisme.
  • Un homéomorphisme (à ne pas confondre avec un homomorphisme) est un isomorphisme de la catégorie des espaces topologiques. C'est un truc un peu spécial mais je vous invite à regarder l'illustration animée sur l'article de Wikipédia. C'est un exemple classique: On peut déformer progressivement une tasse à café sans rien "couper" jusqu'à ce qu'elle ressemble à une bouée. Un avantage possible de cette idée, c'est que certains calculs peuvent être faits beaucoup plus facilement sur une bouée que sur une tasse à café. Un peu comme avec nos tables de logarithmes. On comment par faire les calculs et les tracés sur la bouée, parce que c'est plus facile, puis on déforme la bouée jusqu'à ce qu'elle ressemble à une tasse à café. Ça a l'air un peu puéril comme jeu, mais mon petit doigt me dit que j'aurai peut-être besoin de revenir sur cette idée le jour lointain où je serai prêt pour m'attaquer à la relativité générale.

Il y a énormément d'autres bestioles dans le monde des morphismes. Maintenant qu'on a un peu dégagé le terrain, je vous laisse découvrir ça sur Wikipédia.

Et maintenant, une bonne dose de contre-exemples

Je ne sais pas pour vous, mais moi, je n'ai pas compris une notion tant que je n'ai pas manipulé une petite quantité de contre-exemples. Parce que sinon, le risque est, comme Blanche-Neige, de voir des nains (ou des morphismes) partout.

Une erreur à éviter

Reprenons mes schémas concernant les tables de logarithmes. Ils étaient un peu piégeux en ce sens qu'ils pourraient laisser croire que mon application f, représentée par une flèche bleue, associe toujours une case de la grille du haut à la case située au même emplacement dans la grille du bas. Or ce n'est ça que dit mon application "f". Elle ne s'occupe pas vraiment des cases des tableaux. Elle dit beaucoup plus simplement que:

  • Pomme -> 2
  • Poire -> 0
  • Banane -> 1

Et du coup, j'aurais parfaitement pu organiser différemment mes tableaux. C'est d'ailleurs ce que je vais faire maintenant:

Celui-ci est peut-être mieux ?

Ce schéma représente exactement le même morphisme:

  • Le magma du haut n'a pas changé
  • Celui du bas non plus, même si j'ai disposé différemment les cases qui décrivent sa loi de composition interne.
  • Et la règle qui fait passer de l'un à l'autre est toujours la même à savoir:
    • Poire -> 0
    • Banane -> 1
    • Pomme -> 2

C'est donc exactement le même morphisme, mais schématisé différemment.

Allons plus loin:

La loi de composition interne du magma du bas est presque une table de multiplication. (Vous voyez la différence avec une table de multiplication ?)

Et reprenons maintenant la description de mon exemple.

  • Schéma de gauche:
    • Entre la poire et la banane, je préfère la poire poire⚹banane=poire
    • La poire est associée au nombre 0 (application f, symbolisée par les flèches bleues) f(poire) = 0
  • Schéma de droite:
    • La poire est associée au nombre 0 f(poire) = 0
    • La banane est associée au nombre 1 f(banane) = 1
    • La "quasi-multiplication" du bas donne 0★1=0

On obtient bien le même résultat dans les deux procédures, et c'est pour ça que mon exemple est bien un morphisme. Ca ne vient pas de la manière dont je dessine les tableaux, ça vient de la logique interne qui fait que les deux morphismes se ressemblent et que j'ai pu trouver un moyen de passer de l'un à l'autre (l'application f) qui vérifie toujours la propriété fondamentale que les deux procédures donnent le même résultat: f(x⚹y) = f(x)★f(y)

En revanche, bien sûr, certaines manières de dessiner les tableaux mettent mieux en évidence les similitudes sous-jacentes qui permettent aux morphismes de fonctionner. D'ailleurs, je vais présenter les tableaux de mes contre-exemples d'une manière encore un peu différente, dans l'ordre "logique" des associations, pour la clarté du propos, mais ça ne changera rien au fait que c'est la logique interne des structures qui fait les morphismes, et pas la manière dont j'organise les schémas qui les représentent. (Excusez-moi d'insister sur ce point)

Premier contre exemple

Premier contre-exemple

Que se serait-il passé si j'avais remplacé ma "fausse multiplication" ★ par la vraie multiplication des nombres entiers?

La réponse est que la loi du bas n'aurait plus été une loi de composition interne. En effet 2x2=4 et 4 ne fait pas partie de mon ensemble de nombres qui ne comprenait que {0,1,2}. Du coup, ma structure algébrique du bas n'aurait plus été un magma. Elle n'aurait plus été du même type que celle du haut. Bref, je n'aurais plus du tout un morphisme.

Et même si par une astuce j'avais agrandi mes tableaux pour les rendre infinis. Du coup, ça aurait permis de faire rentrer 4 dans mon ensemble de nombres, mais ça n'aurait rien toujours rien changé au final puisque:

  • entre la pomme et la pomme, je préfère la pomme pomme⚹pomme=pomme
  • pomme est associé à 2: f(pomme)=2

alors que 2x2=4 et pas 2

Mais, me direz-vous, j'aurais pu associer pomme à 2 et aussi à 4, et du coup ça aurait marché?

Non, je ne peux pas faire ça. Souvenez-vous, pour que mon application f soit une application, il faut qu'elle associe chaque fruit à un et un seul chiffre. Je n'ai pas le droit d'associer pomme à la fois à 2 et à 4. Ou plutôt, si je le fais, ce n'est plus une application, donc mon exemple n'est plus un morphisme.

Bien oui, c'est comme ça les maths, c'est rigoureux. Un morphisme n'est pas une simple analogie. C'est une analogie très rigoureusement définie.

Deuxième contre-exemple

Deuxième contre-exemple

Je vais maintenant changer de préférences de fruits. Finalement, entre la banane et la pomme, je préfère la pomme. Est-ce que ça va casser mon morphisme ?

Et bien oui! Le schéma suivant suffira à s'en convaincre. J'ai changé la logique interne de la loi de composition des fruits, pour rétablir mon morphisme, il faudrait que je modifie de manière similaire ma loi de composition des nombres. Sinon, ça ne fonctionne plus.

  • entre la banane et la pomme, je préfère désormais la banane banane⚹pomme=banane
  • banane est associé à 1: f(banane)=1

Alors que si je fais les opérations dans l'ordre sens

  • banane est associé à 1: f(banane)=1
  • pomme est associé à 2: f(pomme)=2
  • et ma loi sur les nombres dit que 1★2=2

De nouveau, le résultat n'est plus le même, le morphisme est cassé.

Troisième contre-exemple ?

Troisième contre-exemple ?

Je vais maintenant changer mon application f de la manière suivante:

  • Poire -> 0
  • Banane -> 1
  • Pomme -> 1 aussi !

Est-ce que j'ai le droit de faire ça?

Oui! Je respecte bien la règle des applications: Chaque fruit est bien associé à un seul chiffre.

Est-ce que ça va casser mon morphisme ?

Non! Comme vous pouvez le constater sur le schéma ci-joint, mon morphisme fonctionne toujours.

Mais il y a quand même un problème! C'est que je ne peux plus fabriquer de morphisme inverse. Il n'y a pas de chemin de retour qui revienne de manière satisfaisante dans le premier magma. Pour le dire encore autrement, ce morphisme n'est pas un isomorphisme.

Regardons ça de plus près:

Tout semble bien marcher tant que je n'essaye pas de revenir dans le magma du haut. En revanche, si j'essaye de revenir dans le magma du haut, je vais rencontrer deux problèmes:

  • Tout d'abord, il y a un chiffre, le 2, qui n'est associé à aucun fruit.

Ceci n'est pas encore très grave, puisqu'il me suffirait de le supprimer pour que le problème soit réglé !

  • Mais aussi et surtout, si je veux revenir en arrière à partir du chiffre 1, je suis bloqué! Est-ce que je suis venu au 1 depuis la banane ou depuis la pomme ?

Cette information ne figure pas dans mon tableau. Bien sûr, je pourrais inventer d'écrire l'information sur l'origine du premier mouvement dans un autre tableau et essayer de refabriquer un morphisme inverse. Mais on voit bien qu'on serait alors en train de fabriquer une usine à gaz, en tout cas quelque chose de complètement différent de la situation précédente et de beaucoup plus complexe, avec plusieurs sortes d'ensembles, plusieurs lois d'association, etc.

Des morphismes dans la science fiction ?

Il est maintenant temps de se reposer un peu et de poursuivre notre voyage de manière plus légère et touristique.

Y a-t-il des morphismes dans la science fiction ?

«Morpheus», dans Matrix

Perso, je n'en n'ai pas trouvé. En revanche, il y a des cas assez évidents de choses qui y ressemblent et ça peut aider à comprendre encore mieux les choses de les regarder de plus près.

Dans la célèbre trilogie «Matrix» par exemple, en dehors du nom d'un des personnages qui s'appelle Morpheus[8], il y a à l'évidence quelque chose qui ressemble à un morphisme et même à un isomorphisme:

  • Il y a deux mondes différents, régis par des règles différentes.
  • Il y a des personnages qui passent d'un de ces mondes à l'autre.
  • Ce qui arrive aux personnages quand ils passent dans l'autre monde a des analogies dans le monde d'origine. Par exemple si un personnage meurt dans la Matrice, il meurt aussi dans le monde réel. Et réciproquement.

Pour autant, est-ce vraiment un isomorphisme ? Pas vraiment, pour que ça en soit un, il faudrait éviter certaines difficultés. Difficultés qui sont d'ailleurs parfois intégrées dans le scénario. Quelles sont ces difficultés? Et bien pour les trouver, reprenons nos définitions d'un morphisme.

  • Il nous faut deux ensembles différents. Les personnages des deux univers, à savoir le Monde réel et celui de la Matrice feront l'affaire.
  • Il nous faut ensuite une loi de composition interne qui soit définie pour tous les couples de personnages du monde réel. Donc une loi qui a n'importe quel couple de personnages associe un seul personnage. Un peu d'imagination... Disons qu'à chaque couple de personnages du monde réel, on associe celui qui est le plus malin. Ca pourrait marcher.
  • Il nous faut une autre loi, un peu similaire mais différente, dans la Matrice. Disons qu'à chaque couple de personnage, on associe celui qui est le mieux habillé. Ca pourrait marcher assez bien, d'autant qu'on commence à voir apparaître une possibilité d'analogie: Plus les personnages sont malins dans le monde réel et mieux ils sont habillés dans la Matrice.

Mais c'est ensuite que ça commence à se gâter.

  • Il faut une application qui à chaque personnage de la Matrice fasse correspondre un personnage du monde réel et un seul. Là, ça ne va pas trop. Il y a des personnages de la Matrice qui sont de purs programmes. Ils n'ont pas de correspondant dans le monde réel. D'ailleurs c'est un des ressorts du troisième film, quand un des personnages qui devrait n'exister que dans la Matrice parvient à rentrer dans le monde réel.
  • Inversement, il y a des personnages du monde réel qui n'ont pas de correspondant dans la Matrice. Là aussi, toutefois, il y a quelque chose de curieux qui se produit à la fin du troisième film: Le personnage de la Matrice qui a réussi à faufiler dans le monde réel se met à se démultiplier dans la Matrice. Et du coup, mon application qui permet de passer d'un monde à l'autre ne fonctionne plus du tout: Non seulement il y a toujours des personnages réels qui n'ont pas d'équivalent dans la Matrice, mais il y a à la fin un personnage du monde réel qui a une multitude de correspondants dans la Matrice. Pas étonnant que ça se passe à la fin, quand tout le système commence à s'effondrer!

Je vais arrêter là ces petites réflexions de science-fiction. c'était juste histoire de se détendre un peu et de vérifier que si les morphismes sont des analogies qui marchent super bien, ce sont surtout des analogies dont les règles sont extrêmement exigeantes.

Y a-t-il d'autres cas de ce genre dans la Science Fiction? Oui, sans aucun doute. Mais je n'ai guère trouvé d'exemple plus proche d'un vrai morphisme que dans Matrix. Si vous en connaissez, je suis preneur de votre avis.

Et maintenant ?

Et bien maintenant... je crois qu'on va s'arrêter là pour le moment!

Nous avons étudié ensemble un concept très important de l'algèbre dont je sais qu'il nous sera utile plus tard, si vous me suivez dans mes démarches touristiques en direction de la physique quantique et de la relativité générale. Nous avons atteint un niveau où nous pouvons comprendre au moins les grandes lignes de ce que disent sur le sujet les dictionnaires et les encyclopédies comme Wikipédia. Il est temps maintenant de laisser décanter un peu tout ça et de se préparer à passer à autre chose.

Mais d'ici là, on peut quand même explorer encore un petit peu les environs. Comme dans les voyages touristiques, vous avez quartier libre! Voici même quelques suggestions.

Pour aller plus loin

Version video

Isomophismes épisode 1

Cet article est en cours de publication en vidéo. Le format vidéo est plus vivant mais moins complet. Les deux sont complémentaires.

  • Episode n°1: Présentation (8 min, juin 2019)
  • Episode n°2: Définitions mathématiques ?!? (6 min, juin 2019)
  • Episode n°3a: Exemples concrets: Additions de billes et de flèches (en cours)
  • Episode n°3b: Exemples concrets: Utilisation d'une table de logarithmes (en cours)
  • Episode n°4a: Approche algébrique: Magmas (en cours)
  • Episode n°4b: Approche algébrique: Lois de composition (en cours)
  • Episode n°4c: Approche algébrique: Application d'un magma à l'autre (en cours)
  • Episode n°4d: Approche algébrique: Propriété fondamentale (en cours)
  • Episode n°4e: Approche algébrique: Petit bestiaire de morphismes (en cours)
  • Episode n°5: Une bonne dose de contre-exemples (en cours)
  • Episode n°6: Voyages "touristiques" (en cours)

Approfondir en français

Je n'ai pratiquement rien trouvé qui traite directement ce sujet dans les cours de maths de terminale / MPSI / L1. Tout au plus, dans le cas de mon bouquin de MPSI, 4 définitions brutes de décoffrage en annexe d'un sujet spécifique du programme (les applications linéaires). Bref, dans le système français, quelqu'un dans mon genre n'est pas censé s'intéresser à ce sujet.
«Circulez, y a rien à voir pour vous ici! Faut laisser tranquilles les gens qui travaillent! Et puis essayer de comprendre quelque chose aux maths, c'est seulement pour les zélites, c'est pas à la portée de touristes comme vous!»
???? Même pas peur! Je comprendrai quand même, non mais! :-)
On y retrouvera, en très accéléré et avec une présentation beaucoup moins "touristique" et beaucoup plus scolaire, à peu près tous les concepts évoqués dans cet article, notamment les lois de composition interne, les magmas, les morphismes, mais aussi quelques compléments utiles. Cette chaîne se veut de niveau Bac+1.
Il n'explique à peu près rien. En revanche, il constitue un bon point d'entrée pour qui essaye de recenser différents types de morphismes.

En anglais

Pour une fois, la Khan Academy m'a un peu déçu sur ce sujet. je n'y ai trouvé que le cas particulier traité dans mon bouquin français de MPSI (le cas des espaces vectoriels). En même temps, c'est peut-être ce cas particulier qui sert le plus dans l'industrie. Ce n'est donc pas totalement une surprise: Les anglo-saxons n'ont pas seulement tendance à être moins abstraits dans leur pédagogie, ils sont aussi souvent plus utilitaristes.
Cette vidéo explicite ce que sont les morphismes (homomorphisms en anglais). Elle le fait de manière assez formelle mais quand même à la manière anglo-saxonne, c'est à dire en s'appuyant très vite sur des cas particuliers avant de revenir à la théorie générale. Du coup, on y retrouvera en 5 minutes à peu près tout ce que j'ai écrit en plusieurs pages.
Cette vidéo reprend un peu la question des logarithmes et insiste sur la différence entre morphismes (homomorphismes) et isomorphismes.
  • Log Tables (vidéo 5 min) Comment on utilisait les tables de logarithmes autrefois pour faire des multiplications. C'était avant l'apparition des tableurs et des calculettes. (Désolé, je n'ai pas trouvé l'équivalent en français, mais si ça existe, je suis preneur de l'info)

Des erreurs ? Des remarques ? Des critiques ?

Merci tout d'abord de vous souvenir que mes articles ne sont PAS des cours de mathématiques. Ils n'ont pas la rigueur nécessaire à un cours de mathématiques. Ce ne sont que des survols que j'effectue des mathématiques dont j'ai besoin pour réaliser mes objectifs d'otium.

Mais en dehors des approximations parfois grossières de ces "mathématiques en touriste", il est possible aussi que j'aie fait de franches erreurs. Merci en ce cas de me les signaler, je les corrigerai dès que possible et de mon mieux.

Notes, compléments et références

  1. Cette formulation est abusive mais souvenons-nous que nous sommes ici en touristes, pas dans un devoir de maths! C'est l'idée générale qui nous intéresse ici. On reviendra dessus plus tard pour essayer de dire les choses de manière plus exacte.
  2. Et moi, j'aime bien faire mon malin pour me venger des mathématiciens ! Mais j'exagère: Il y a plein de bonnes raisons d'appeler ça des tables de logarithmes plutôt que des «tables d'exposants des puissances de 10», même si ça revient au même.
  3. Nous expliciterons ce qu'on appelle «structure algébrique» plus loin
  4. Elle est composée du même ensemble mais avec une autre opération, nous reviendrons sur ces précisions plus loin
  5. Tellement important que je vais même faire un petite vidéo pour expliciter tout ça de manière encore plus détaillée.
  6. Fidèle à ma méthode de travail, je procède par approximations successives. Si on voulait être parfaitement rigoureux, comme des vrais matheux, on ne dirait pas ça et on écrirait des choses beaucoup plus compliquées ou totalement incompréhensibles. Mais ces articles sont faits pour des touristes comme moi, donc cette approximation, dans un premier temps, suffira.
  7. En fait, il y a aussi une autre raison: C'est que je pense me resservir des mêmes schémas dans un autre article et que du coup ça m'arrange bien que le zéro de cet exemple se comporte comme le zéro de la multiplication (il «gagne toujours») tandis que le un se comporte comme le un de la multiplication (il «ne change rien au résultat», il laisse toujours l'autre gagner).
  8. D'après les spécialistes, c'est une simple coïncidence et Morpheus ne fait référence qu'à Morphée, divinité du sommeil et des rêves. C'est sans doute vrai mais ça ne retire rien à l'intérêt de cette coïncidence.