Le téléphérique des postulats

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Série PQT : La physique quantique en touriste
     Saison 02 : Aperçus de physique quantique
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Les postulats de la mécanique quantique sont écrits dans le langage de la nature, à savoir le langage mathématique. Ce passage est le plus escarpé de tout notre voyage. Le parcourir à pied nous prendrait toute une saison. Nous allons donc le survoler en prenant le téléphérique, ce qui nous permettra d'observer ses difficultés d'en haut.

La « déraisonnable efficacité des mathématiques »

L'abstraction mathématique est au cœur des innombrables discussions qui entourent la physique quantique. Ces discussions illustrent très bien ce qu'une expression désormais célèbre appelle la «déraisonnable efficacité des mathématiques[1][2]». Prenons quelques minutes pour comprendre de quoi il s'agit.

L'idée selon laquelle «Les lois de la nature sont écrites dans le langage des mathématiques» est attribuée à Galilée mais elle existait bien avant lui. Pythagore déjà aurait dit « Le nombre est la mesure de toutes choses ».

Toutefois, jusqu'à ce que les anglophones appellent parfois la «nouvelle théorie quantique» [3], l'idée la plus générale était que le monde est constitué d'objets réels, se comportant globalement de manière familière, et que les mathématiques permettent de mieux comprendre leur comportement.

Cette idée était encore au cœur de la «première théorie quantique» (1890-1925), celle dans laquelle les particules élémentaires (à l'époque ça se limitait aux électrons, aux protons et aux photons) étaient encore imaginées comme des petits corpuscules vibrants.

Tout change à partir de 1925, quand apparaît un formalisme mathématique extraordinairement efficace, celui que nous allons observer maintenant.

Ce formalisme mathématique est incroyablement efficace puisqu'il permet non seulement de prévoir le résultat des expériences de physique avec une précision jamais vue jusqu'ici[4], mais qu'en plus il a permis de décrire de très nombreux phénomènes qui n'avaient encore jamais été observés.

Bien sûr, lorsque la planète Neptune fut découverte, en 1846, ce fut déjà par déduction à partir de calculs. Mais dans le cas de Neptune, tout le monde savait déjà ce qu'était une planète. On cherchait donc un nouvel objet dont on avait déjà quelques exemples.

Un autre exemple de la déraisonnable efficacité des mathématiques en astronomie est celui des trous noirs. Cette fois-ci, les mathématiques de l'astrophysique ont permis d'annoncer dès la fin du 18ème siècle l'existence d'un astre d'un nouveau type qui ne sera vu pour la première fois, au prix d'efforts considérables, qu'en 2019.

Mais dans le cas de la physique quantique, ça va beaucoup plus loin. L'un des exemples les plus anciens et les plus frappants est celui de la découverte du positron et de l'antimatière par Paul Dirac. Ce sont les équations mathématiques qui indiquent à Dirac qu'il doit exister, si les mathématiques sont exactes, une particule d'un type totalement inconnu jusqu'ici. L'existence de cette nouvelle particule sera confirmée peu de temps après. Plus encore, les mathématiques de la physique quantique indiquent qu'une «particule quantique» peut se trouver dans des états qui n'existent pas dans notre monde habituel. En particulier qu'elle peut n'avoir aucune température bien définie, ou aucune position bien définie.

Ce genre d'affirmation amène parfois à dire des choses comme «un électron peut se trouver à deux endroits en même temps», ce qui est tout à fait faux, comme nous le verrons le moment venu. L'électron n'est pas «à deux endroits en même temps» ce qui resterait encore plus ou moins classique (il paraît que les sorciers savent faire ce genre de choses, bien que ce ne soit pas prouvé), il est dans un état encore bien plus abstrait que cela (et là, pour le coup, il y a des preuves, que nous étudierons plus tard).

Nous devons donc séparer deux choses:

  • Les postulats de la mécanique quantique, qui décrivent la procédure à suivre pour prévoir correctement ce que va faire la nature dans telle ou telle situation. À quelques rares exceptions près, tous les physiciens sont d'accord sur ces procédures, même s'ils ne les expliquent pas toujours de la même façon, parce qu'elle marchent exceptionnellement bien.
  • Les interprétations de la mécanique quantique, qui relèvent jusqu'à présent de la philosophie et pas de la physique, et qui cherchent à deviner s'il existe une réalité, connaissable ou non, qui serait décrite par les mathématiques ou si au contraire les mathématiques sont en elles-même cette réalité ultime.

Autant il existe un consensus[5] entre les scientifiques sur les postulats, autant les débats restent ouverts en ce qui concerne les interprétations.

On embarque pour la montée !

Le téléphérique nous attend. Nous allons bientôt passer rapidement au-dessus de toutes les abstractions mathématiques dont nous venons de parler. Approchez-vous des fenêtres pour les observer de haut.

La plupart du temps, les postulats sont mentionnés comme étant au nombre de six et présentés d'une manière proche de la manière suivante:

1) Principe de combinaison

Les physiciens préfèrent de plus en plus parler de «principe de combinaison» plutôt que de «principe de superposition» mais il faut connaître les deux termes car on les rencontre souvent.

Ce principe dit que l'état d'un système quantique (un atome d'argent, un électron, un photon, voire une molécule) est décrit par une combinaison d'états de base. Plus précisément, par un objet mathématique qui ressemble à ceux que nous avons vus dans un épisode précédent.


PQT S02 E05 01.png (1)

La partie gauche de cette équation est la notation la plus fréquent pour un état quantique. Ça peut par exemple être la position d'une particule. On utilise souvent la lettre grecque ψ (psi), mais ça n'a rien à voir avec la psychologie et encore moins avec la parapsychologie.

Les signes qui entourent la lettre ψ forment ce qu'on appelle un ket. C'est comme ça qu'on désigne ce qu'on appelle un vecteur d'état. Si vous avez fait un peu de maths au lycée, vous savez qu'on a l'habitude de représenter les vecteurs ordinaires avec des petites flèches au dessus d'une lettre de l'alphabet ordinaire. Et bien justement, les vecteurs qui représentent les états quantiques ne sont plus des vecteurs ordinaires, c'est pourquoi on les représente différemment[6].

PQT S02 E07 01.png

La partie droite de l'expression mathématique (1) "développe" le vecteur d'état. Autrement dit, elle dit de quoi il est fait et en quelles proportions. Ici, c'est une position qui est faite d'un petit peu de "gauche" et d'un petit peu de "droite". Ca ne veut pas dire qu'elle soit entre les deux. Ca ne veut pas dire non plus qu'elle soit une simple "superposition" des deux. C'est une certaine combinaison mathématique des deux, bien plus abstraite qu'une simple superposition. Nous l'étudierons dans une autre saison de notre voyage.

Les vecteurs d'états ne sont pas nécessairement des combinaisons de seulement deux états de base. La plupart du temps, il y a beaucoup plus d'états de base. Et par beaucoup plus, je veux dire vraiment beaucoup plus. Ce qui du même coup peut rendre les maths beaucoup plus compliquées aussi. Mais le principe général, lui, restera le même. Il est très abstrait mais finalement assez simple: Un état quantique est une certaine combinaison mathématique d'états de base comme nous en avons déjà vu beaucoup d'exemples dans les épisodes précédents.

Autant la plupart des états quantiques sont des états très abstraits, autant les états de base sont, eux, toujours des états classiques[7]. Je veux dire par là des états qu'on peut mesurer de manière classique. Par exemple |P> = |boîte de gauche> ou |T> = |22°C> ou pour une énergie |E> = |6 x 10-34Joules>

J'énoncerai donc à ce stade le premier postulat de la mécanique quantique ainsi :

1) Un état quantique est une certaine combinaison mathématique abstraite d'états ordinaires.

2) Principe de correspondance

Le second postulat s'appelle le «principe de correspondance».

Je l'énoncerai ainsi:

2) Les choses qu'on mesure sont représentées par un certain opérateur mathématique.

Ces «choses qu'on mesure», les physiciens les appellent souvent des observables. Ça peut être par exemple une température, ou une position ou une énergie. Pour des raisons de simplicité, ou parfois aussi pour des raisons philosophiques, ils appellent aussi observables les opérateurs mathématiques correspondants.

Ce qui nous ramène au questionnement philosophique que nous avons vu plus haut. Est-ce que ces "observables" représentent les choses qu'on mesure, ou est-ce qu'ils sont eux-mêmes les choses qu'on mesure ? Personne n'en sait trop rien en fait.

Mais peu importe à ce stade, si on fait les calculs comme ça, ça marche parfaitement. Alors à quoi peut représenter un de ces opérateurs ? En voici un très simple que nous étudierons dans la saison 4 de notre voyage:

PQT S02 E07 02.png

Comment ça marche ?

Ce genre d'opérateur ressemble à une machine. Quand on rentre dedans un vecteur, il en ressort un autre vecteur.

3) Principe de quantification

3) Les mesures ne peuvent pas donner d'autres résultats que ceux qui correspondent à des valeurs propres de ces opérateurs mathématiques.

Qu'est-ce que ça veut dire ? Ca signifie qu'en physique quantique, tous les résultats ne sont pas possibles pour une mesure. C'est même de là que vient le mot "quantique". Par exemple, si vous mesurez l'aimantation (ou plus exactement le moment magnétique de spin) dans une expérience comme celles que nous avons vu dans les deux premières saisons, vous savez maintenant qu'il n'y a que deux valeurs possibles, vous n'obtiendrez jamais de valeurs intermédiaires, elles n'existent pas dans la nature.

Comment savoir quelles sont ces valeurs possibles ?

En calculant une certaine quantité mathématique qu'on appelle les valeurs propres de l'opérateur. Autre solution, que nous emploierons plus souvent: En demandant à un logiciel de faire le calcul à notre place.

4) Règle de Born

4) Les calculs mathématiques fournissent la probabilité d'observer tel ou tel résultat.

Il s'agit ici du caractère fondamentalement probabiliste de la mécanique quantique. Sauf cas exceptionnels qui aboutissent à une probabilité égale à 1, c'est à dire à une certitude, il n'est pas possible de savoir à l'avance quel sera le résultat d'une mesure. On ne peut connaître que la probabilité de l'obtenir. Mais nous avons vu suffisamment d'exemples de tout ceci dans les épisodes précédents pour que je n'insiste plus sur ce point.

Maintenant, comment fait-on ces calculs mathématiques pour obtenir les bonnes probabilités ?

Comme j'ai promis que nous ne ferions pas de calculs au cours de cette saison, nous remettrons cette question aux saisons 3 et 4 de notre voyage, qui lui seront entièrement dédiées.

5) Réduction du paquet d'ondes

Ce postulat est probablement celui qui donne le plus de fil à retordre aux philosophes tant il est contraire à l'habitude que nous avons des choses réelles.

Dans le monde réel, un nuage ne disparaît pas si je mesure sa température à un endroit donné. Et si je mesure la température à Lille, ça n'aura aucune influence sur les mesures de température à Marseille.

Dans le monde quantique en revanche, les choses ne sont pas si simples. Nous en avons eu un exemple dans notre explication de l'effet tunnel à l'épisode précédent. Le photon est en quelque sorte "étalé" dans l'espace. Mais dès qu'il interagit avec son environnement à un endroit donné, tout cet étalement disparaît instantanément.

Autre exemple que nous avons vu précédemment: Si je prépare un spin "penché" et que je le mesure verticalement, je le ferai basculer totalement vers le haut ou totalement vers le bas, il ne restera pas "penché".

Dernier exemple que nous avons vu aussi: Tant que le photon de l'épisode PQT S02 E05 n'a pas touché le fond de l'une des boîtes, il n'est ni dans l'une ni dans l'autre, il n'existe plus vraiment du moins si on considère qu'un photon doit être localisé quelque part. En revanche, ses «amplitudes de probabilités» elles, sont dans les deux boîtes. Par contre, dès qu'il interagira avec le fond d'une des boîtes, toutes les amplitudes de probabilité disparaîtront immédiatement. il n'y aura plus qu'un fait, à savoir que le photon aura interagi avec le fond d'une des boîtes à un endroit précis.

C'est ce fonctionnement très particulier qu'on appelle «Réduction du paquet d'ondes». De quel «paquet d'ondes» parle-t-on ? Nous aurons l'occasion d'en reparler, mais il se trouve que mathématiquement, le paquet de nombres bizarres que nous avons vu dans l'épisode PQT S02 E06 peut être représenté visuellement de la même manière qu'un assemblage de vibrations, ou de vagues, ou d'ondes.

Et donc quand tous ces nombres bizarres qu'on appelle des «amplitudes de probabilités» s'évanouissent pour laisser place à une mesure bien localisée, on parle de «réduction du paquet d'ondes».

Toutefois, ce phénomène est encore plus précis mathématiquement que cela, comme nous le verrons plus tard. C'est pourquoi nous allons pour le moment formuler le cinquième postulat ainsi:

5) La mesure modifie l'état du système quantique mesuré de manière à faire disparaître les probabilités qui ne se sont pas réalisées.

6) Evolution du système quantique dans le temps

Nous ne discuterons pas le dernier postulat pour le moment, ni non plus dans les deux saisons suivantes. Il concerne la manière dont les systèmes quantiques évoluent au fil de temps. Pour en donner une idée rapide, il concerne l'équation de Schrödinger, qui précise par exemple à quelle vitesse changent les petits nombres à côté de la lettre pi dans l'épisode PQT S02 E06.

Nous formulerons donc le sixième postulat ainsi:

6) L'évolution dans le temps du système quantique est fixée par l'équation de Schrödinger.

Attention à la descente !

Voilà, notre montée rapide est terminée. Pour ceux qui seraient intéressés, notre tour operator propose une excursion facultative et beaucoup plus détaillée à travers les postulats. Elle fera l'objet de la saison 4 de notre voyage.

Mais pour le moment, nos allons continuer notre progression en faisant le tour des principales métaphores habituellement utilisées pour évoquer par analogies ce que nous venons de survoler.

Pour aller plus loin

Notes et références

  1. The_Unreasonable_Effectiveness_of_Mathematics_in_the_Natural_Sciences, sur l'article signé par Eugène Wigner en 1960
  2. La déraisonnable efficacité des mathématiques, article de Richard W. Hamming, février 1980, traduit par Antoine Wojdyla
  3. C'est à dire la théorie quantique telle qu'elle fut formalisée à partir de 1925, voir ici
  4. Une précision de 13 chiffres significatifs a été atteinte ces dernières années
  5. Un consensus qui n'implique pas pour autant une unanimité, laquelle n'existe jamais dans les sciences.
  6. Et pour d'autres raisons aussi, mais on verra ça le moment venu.
  7. Pour les étudiants qui se seraient égarés ici, votre prof de maths ou de physique risque de sauter au plafond si vous lui dites un truc pareil ! Alors précisons un peu: Si on veut mesurer un truc à la fin, alors il vaut mieux partir avec des trucs mesurables au début.



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