États R et L

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Série PQT : La physique quantique en touriste
     Saison 03 : Un sudoku à l'ermitage du spin
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Solution de l'exercice précédent

Vous n'avez probablement pas eu beaucoup de difficultés à résoudre le petit problème de l'exercice précédent et à remplir les deux dernières cases blanches.

Pour commencer, quel est le vecteur ligne qui correspond à la position <D| du détecteur ?

PQT S03 E02 01.png

On applique évidemment la même règle que précédemment, en "couchant" le vecteur ligne |D>.

Ce qui nous donne : <D| = (0,1)

Il nous faut maintenant calculer l'amplitude de probabilité. La méthode a été expliquée dans l'épisode précédent.

PQT S03 E02 02.png

A = (0x1)+(1x0) = 0+0 = 0

Ensuite, il faut élever cette amplitude de probabilité au carré pour obtenir la probabilité.

P = 0² = 0x0 = 0

La probabilité que le spin soit détecté dans l'état "Down" s'il était dans l'état "Up" est bien de zéro. Ça n'arrivera jamais. C'est bien le résultat que nous espérions.

PQT S03 E02 03.png

Après avoir rempli la dernière case blanche de la même manière, nous obtenons ceci:

Les calculs sont:

  • A = (0x0)+(1x1) = 0+1 = 1
  • P = 1² = 1x1 = 1

Si notre spin est dans l'état "Down", il y a 100% de chances qu'il soit détecté dans l'état "Down", soit une probabilité de 1. Jusqu'ici tout va bien...

L'état |R>

Il est temps maintenant d'attaquer des choses un peu plus consistantes.

Nous devons écrire l'état |R> de la même manière, au moyen de deux nombres, afin d'obtenir par les mêmes opérations les bonnes probabilités de détection.

Expérience <U|R>

Souvenons-nous de la situation. Si notre détecteur est dans la position "Up", c'est à dire <U|, nous savons maintenant par expérience quel résultat nous devons obtenir. Cette probabilité est de 50% soit 1/2.

Comment parvenir à ce résultat ?

Procédons en sens inverse. Pour obtenir une probabilité de 1/2, il nous faut une amplitude de probabilité qui, une fois élevée au carré, nous donnera 1/2. Nous avons appris au collège comment s'appelle le nombre qui donne 2 si on l'élève au carré. Il s'appelle «racine carrée de 1/2». Et on se souviendra que :

PQT S03 E02 04.png

Si vous ne vous souvenez pas de ces résultats de niveau fin de collège, rien d'urgent, pour le moment il vous suffira de me faire confiance mais je vous invite à réviser un peu ce genre de choses pour la suite. Il y a énormément de vidéos très bien faites qui permettent de se rafraîchir la mémoire, par exemple sur le site Khan Academy.

Nous ne sommes pas encore tout à fait au bout de nos peines. En effet, il nous faut maintenant trouver le moyen de faire en sorte que le vecteur colonne que nous cherchons donne aussi le même résultat, c'est à dire une probabilité de 1/2, vis à vis d'un détecteur dans la position "down".

Je vous laisse réfléchir un peu par vous-même? Il y a plusieurs solutions. Nous retiendrons la plus simple à écrire.

Voici la solution que je vous propose:

PQT S03 E02 05.png

Vérifions nos calculs:

Pour <U|R>, on a bien:

A = (1 x 1/√2)+ (0 x 1/√2) = 1/√2
P = A² = (1/√2)² = 1/2

Et pour <D|R> :

A = (0 x 1/√2)+ (1 x 1/√2) = 1/√2
P = A² = (1/√2)² = 1/2

C'est fini pour l'état |R> ?

Non! Il nous reste une chose importante à vérifier! Si notre spin est dans l'état |R>, un détecteur dans la position |R> doit le détecter dans 100% des cas!

Quel sera le vecteur ligne pour <R| ? Ce sera évidemment le même que |R> mais horizontal. Et les calculs donneront:

A = (1/√2 x 1/√2) + (1/√2 x 1/√2) = 1/2 + 1/2 = 1
P = A² = 1² = 1

Cette fois-ci, nous y sommes, tout marche comme sur des roulettes !

L'état |L>

Il nous faut maintenant décrire l'état d'un spin qui pointerait vers la gauche. Comme nous l'avons vu tant de fois dans la saison 02, les probabilités vis à vis des détecteurs <U| et <D| seront les mêmes que celles des spins orientés vers la droite.

Est-ce qu'on pourrait alors réutiliser les mêmes nombres alors ?

NON ! Car c'est un état différent de l'état |R> et les probabilités seront différentes vis à vis des détecteurs <R| et <L|. Nous devons obtenir les probabilités suivantes :

<U|L> → 1/2
<D|L> → 1/2
<R|L> → 0
<L|L> → 1
Je vous laisse chercher quelques instants, ça devient un peu plus futé.

[...]

Il faut changer le signe d'un des deux nombres. Lequel des deux ? Peu importe en fait. La nature ne fait pas de calculs, elle suit ses règles. C'est nous qui essayons de modéliser tout ça au mieux. Si deux manières de faire donnent toujours les mêmes résultats, elles sont aussi bonnes l'une que l'autre[1]. L'habitude est de changer le second nombre, ainsi:

PQT S03 E02 06.png

Vérifions ensemble les résultats. Comme les calculs commencent à se compliquer un peu, je vais les écrire d'une manière un peu plus rigoureuse sur le plan mathématique. Surtout ne prenez pas peur en les regardant, c'est exactement la même chose que ce que nous avons fait jusqu'à présent, c'est juste écrit d'une manière qui plairait plus à un matheux et surtout qui nous permettra de nous y retrouver plus facilement par la suite:

PQT S03 E02 L Latex.png

C'est exactement ce qu'il nous fallait: Si le spin est préparé de telle sorte qu'il pointe vers la gauche, il a 100% de chances d'être détecté vers la gauche, 50% de chances d'être détecté vers le haut, 50% de chances d'être détecté vers le bas et absolument aucune chance d'être détecté vers la droite. Nous avons déjà vu ça cent fois depuis le début de notre voyage dans le monde quantique.

Remarquons maintenant que l'un de ces résultats commence à nous expliquer pourquoi nous avons besoin de passer par cette idée en apparence bien compliquée de commencer par calculer des amplitudes de probabilités qu'il faut ensuite élever au carré pour obtenir la probabilité elle-même.

En effet, on obtient, pour <D|L>, une amplitude de probabilité qui est de -1, un nombre négatif! Or, ça n'existe pas les probabilités négatives! En élevant au carré, on est certains que les probabilités sont bien positives. C'est cool!

Mais bon, d'accord, ce n'est pas encore très convaincant. On aurait pu convenir de prendre la valeur absolue et ça aurait fait la blague. En fait, il y a des raisons encore plus fondamentales d'élever les amplitudes au carré et nous en découvrirons d'autres dans le prochain épisode.

Résumons-nous

A ce stade résumons ce que nous avons trouvé jusqu'ici sous la forme de quatre équations d'état:

Nous avons décrits à l'épisode précédent les états |U> et |D> ainsi:

PQT UD Latex.png

Et nous venons de décrire, dans cet épisode les états |R> et |L> ainsi:

PQT RL Latex.png

Reconnaissez que tout ça commence à ressembler un peu à de véritables équations de mécanique quantique telles que celles que vous avez pu voir sur Wikipédia ou ailleurs!

À ce stade, prenez le temps nécessaire pour vérifier que vous comprenez bien tout ceci. N'hésitez pas à me contacter pour un soutien complémentaire si besoin. C'est important de bien maîtriser cette partie avant de passer à la suite.

Devoirs à la maison

En attendant le prochain épisode, je vous laisse remplir les quatre dernières cases jaunes et vérifier qu'on obtient bien les résultats attendus. C'est très facile.

Expérience <D|I>

Je vous propose aussi un autre exercice. Le travailler un peu vous aidera considérablement pour le prochain épisode. Le voici :

Essayez de décrire l'état |I>, qui est celui d'un spin qui pointerait directement vers la cible, de manière à trouver les bons résultats dans les cases suivantes :

<U|I> → 1/2
<D|I> → 1/2
<R|I> → 1/2
<L|I> → 1/2

Toutefois, passez-y un peu de temps mais pas trop. Pourquoi ? Parce qu'il y a trois possibilités :

  • Soit vous avez déjà su le faire et vous retrouverez assez vite.
  • Soit ne l'avez encore jamais fait mais vous avez le génie d'un Charles Hermite (1822-1901) et vous devriez finir par trouver[2].
  • Soit vous êtes quelqu'un d'ordinaire, comme moi, et vous n'y parviendrez pas.

Mais ça vaut vraiment le coup d'essayer quand même, pour bien percevoir où si situe la difficulté.

A bientôt !

Notes et références

  1. On pourrait pousser ici très loin la réflexion philosophique. Si deux descriptions mathématiques donnent toujours les mêmes résultats, dans tous les cas, elles sont aussi exactes l'une que l'autre. Elles ne sont que deux manières différentes et également vraies de décrire la même "réalité".
  2. Évidemment, profiter de cet indice pour trouver la réponse sur Wikipédia serait tricher !




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