Equation d'Euler

L'identité d'Euler e= -1 qui peut aussi s'écrire sous la forme e + 1 = 0 gagne régulièrement les concours de «plus belle équation du monde»1. Elle regroupe sous une forme très concise et assez mystérieuse des nombres qui ont joué un rôle capital dans l'histoire des mathématiques.

« C'est la combinaison improbable de ces cinq constantes qui rend belle cette équation. C'est comme imaginer un concerto pour contrebasse et saxophone et découvrir de manière surprenante que c'est fantastique ! Et puis cette équation pourrait décrire le mouvement parfait d'un pendule oscillant. C'est assez magique. » explique Cédric Villani dans Numérama1.

C'est beau, mais surtout, ça a l'air assez incompréhensible !

En effet, décomposons un peu la chose :

  • 220px Hyperbola E.svge, c'est la base des logarithmes naturels. C'est un nombre aussi mystérieux que π, et qui a été découvert bien après lui. Il peut être défini de nombreuses manières et, maintenant qu'on l'a découvert, on le voit apparaître un peu partout, jusqu'en finances, dans le calcul des intérêts. Dans les vidéos de vulgarisation, les américains aiment d'ailleurs bien le présenter comme ça. Dans la vieille europe, on préfère des approches qu'on veut croire plus "nobles", comme par exemple de dire que c'est le nombre pour lequel l'aire en bleu de la figure ci-contre, sous le graphe de la fonction y=1/x, vaut 1. Vous voulez calculer la valeur de e ? Il "suffit" de résoudre ce problème. Pour cela, un peu de calcul intégral sera nécessaire. Mais si on n'est pas en train de préparer un examen, on peut aussi se contenter de faire confiance à sa calculatrice quand elle nous dit que e ≈ 2.71828... 2

 

  • 240px Complex picture.svgi c'est «l'unité imaginaire» autrement dit un nombre tout aussi mystérieux, apparu à la Renaissance comme une simple "astuce de calcul". C'est le nombre qui, si on le multiplie par lui-même, donne moins un. Dit comme ça, ça a l'air idiot. Aucun nombre "normal" ne peut donner moins quelque chose si on le multiplie par lui-même, parce que, comme on le sait tous depuis le collège, «moins par moins donne plus». Donc si le nombre est positif, son carré sera positif, et s'il est négatif, son carré sera quand même positif. Par exemple (-2)2 = (-2 x -2) = 2 et pas -2. Pourtant, on s'est aperçu à la Renaissance qu'en imaginant qu'un tel nombre existe, on pouvait simplifier énormément toutes sortes de calculs. On l'a donc défini comme ça : i, c'est le chouette nombre qui ne correspond à aucune quantité dans la nature mais qu'on se permet d'imaginer quand même et qui, si on le multiplie par lui-même, donne -1. C'est même sa définition : i2=-1
    Très vite, on s'est aperçu que cette «astuce de calcul» était extrêmement utile un peu partout, au point qu'on ne pouvait plus s'en passer. Et encore plus tard, on s'est rendu compte que ce n'était pas seulement une astuce de calcul. Dans la mécanique quantique, il apparaît partout et il a bel et bien une signification physique. Sans lui, on ne peut tout simplement pas accéder au monde quantique3, pour des raisons qui ont quelque chose à voir avec les géométries bizarres de ces phénomènes.

 

Pi unrolled 720

  • π on connaît tous, ou on croit connaître5. Si on mesure avec une ficelle le périmètre d'un disque dont le diamètre vaut 1m, on trouvera un peu plus de 3m. Longtemps, ça a suffit à la plupart des gens. Par exemple, dans la Bible, on trouve que la «mer d'airain», une très grand vasque située devant le temple de Salomon, «avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde, cinq coudées de hauteur, et une circonférence que mesurait un cordon de trente coudées4». Autrement dit la valeur de 3 suffisait pour expliquer les choses courantes. Le rédacteur a certainement estimé qu'il n'était pas utile de préciser davantage. Même s'il savait probablement que ce n'était pas la valeur exacte, puisque des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans av. J.-C. présentaient déjà des calculs d'aire conduisant à une valeur de π de 3 + 1/8.

 

  • EuropeanFormOfArabianDigits-1 (ou 0 si on écrit la formule sous la forme e + 1 = 0), ça a l'air plus simple parce qu'on a pris l'habitude d'écrire des zéros et des nombres négatifs. Mais en fait il a fallu très longtemps aux humains avant d'en arriver là. Les nombres négatifs et le zéro en tant que résultat d'une opération telle que -1+1=0 sont une invention qui a permis d'aller au-delà de ce que permettaient les entiers naturels tels que 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; … D'une certaine manière6, cette invention est assez semblable à celle de i.

Et c'est encore pire que ça !

La difficulté avec la superbe identité d'Euler7, ce n'est pas tant qu'elle mélange des nombres aussi chargés d'histoire que sa difficulté conceptuelle. En effet, sa partie gauche présente une opération, mais de quelle opération s'agit-il au juste ?

Élever un nombre à une puissance donnée, nous avons tous appris à le faire au collège. Par exemple:

102=10x10=100

103=10x10x10=1000

ou encore

28=2x2x2x2x2x2x2x2=256

C'est simple, on multiplie le nombre par lui même autant de fois qu'indiqué dans l'exposant.

De la même manière:

e3=2.71828...x2.71828...x2.71828...

on multiple e par lui même 3 fois et on obtient un peu plus de 20. C'est assez facile à comprendre.

Mais comment multiplier un nombre par lui-même π fois ???

3 fois on vient de le faire, 3 fois et demie, c'est un peu plus futé, mais on peut y arriver encore, 3,14 fois passe encore, mais π fois ???

Et iπ fois ?!!??! Pourquoi pas «Hippie fois» tant qu'on y est ! Un vrai truc d'allumés !

Bon Euler et ses amis ne consommaient pas de substances hallucinogènes pour autant qu'on le sache. Il y a un moyen d'y parvenir et ce sera l'objet d'une prochain article.

Pierre Bourdieu painted portrait DDC 8931 croppedMais c'est une question importante et qui est loin d'être stupide. D'habitude, au lycée, on n'y répond pas. Le programme et le prof se contentent d'un « Posons comme définition que...» qui a un double avantage :

  1. Ça permet aux matheux de rester entre eux, dans leur domaine platonicien interdit au vulgaire, dans le monde des «pures définitions parfaitement exactes réservées aux zélites».
  2. Ça conduit les gamins des classes populaires à se décourager et à se dire qu'ils n'y comprendront jamais rien et que les maths c'est pas pour eux, ils ne sont pas assez intelligents, c'est uniquement pour les zélites. Et comme par hasard, les zélites sont sélectionnées comment, en France ? Principalement par des épreuves de maths !

Évidemment, les gamins des zélites, eux, ils ne pigent pas plus que les autres. Mais eux, ils trouveront toujours un cousin polytechnicien ou un prof particulier pour les rassurer sur leur intelligence en leur expliquant en substance et en cachette (zeugma), approximativement (quelle horreur, cachez ce sein que l'académie ne saurait voir !), de quoi il retourne.

Un certain Bourdieu a étudié longuement ce phénomène, dit-on. :-)

Pour vérifier et pour aller plus loin:

  • 1) L'identité d'Euler, la plus sexy des formules mathématiquesdes formules mathématiques, sur Télérama.
    Article tous publics sur la «beauté» du truc. Dans la deuxième partie de l'article, il faut se souvenir que l'identité peut aussi s'écrire e+1=0
  • 2) Pour en apprendre plus sur e et les exponentielles, je conseille cette série de cours cours de la Kahn Academy.
  • 3) Pour en apprendre plus sur i et sur les nombres complexes, je conseille cette série de cours de la Khan Academy. Sur les nombres complexes dans la mécanique quantique, il y a par exemple de célèbre cours de Leonard Susskind «The Theoretical Minimum» mais outre que c'est en anglais, c'est aussi d'un niveau plus avancé. Pour l'instant je vous demande juste de me croire et on en reparlera plus tard.
  • 4) 1 Rois 7:23
  • 5) Pour approfondir vos connaissances sur π, je conseille l'excellent article de Wikipédia. Comme toujours avec Wikipédia, il ne faudra pas oublier qu'il ne s'agit que d'une introduction au sujet et que chaque lecteur est censé être assez adulte pour ne pas "croire" mais au contraire vérifier par lui-même en consultant les sources de l'article.
  • 6) De quelle manière exactement ? Je prépare un autre article qui le précisera. Mais en deux mots, le zéro et les nombres négatifs permettent de "dépasser" l'ensemble des nombres naturels pour créer l'ensemble des entiers relatifs, ce qui permet de faire des opérations qui n'étaient pas possibles en restant dans les nombres naturels. De la même manière, les nombres imaginaires permettent "d'étendre" l'ensemble des nombres réels (ceux que nous avons appris au collège) pour créer l'ensemble plus vaste des nombres complexes.
  • 7) Qui en fait n'a pas été découverte par Euler, et surtout pas par Euler tout seul, mais cela n'enlève rien à son génie mathématique. Les sciences sont presque toujours un sport collectif et Euler a découvert et inventé tant d'autres choses que cette attribution à un seul d'une découverte collective est dans l'ordre des choses, à défaut d'être parfaitement juste

Voir aussi

  • La formule d'Euler, et pourquoi les gens capotent, vidéo du Club mathématique de l'Université de Montréal (49 minutes).
    Il s'agit ici plutôt d'un nouveau survol de l'identité, pour des auditeurs qui la connaissent déjà et qui ont acquis des notions de mathématiques un peu avancées (limites et dérivées notamment). Disons en gros un niveau Bac+1 en sciences. Mais c'est bien expliqué et souvent de manière humoristique, avec des expressions très canadiennes qui réjouiront l'auditeur français.

 Remerciements et dédicaces

À mon ami et frère Lucien M. dont la curiosité m'a donné l'envie de me remettre à l'ouvrage, ainsi qu'à Jean-louis T. que je ne désespère pas d'inscrire un jour sur la Khan Academy.